측도론과 확률론에서 추이 측도(推移測度, 영어: transition measure)는 첫 번째 변수에 대하여 가측 함수이며 두 번째 변수에 대하여 측도인 이변수 함수이다. 추이 측도를 통해 곱 가측 공간 위에 측도를 유도할 수 있다.
두 가측 공간 와 사이의 추이 측도는 다음 두 조건을 만족시키는 함수
이다.
- 임의의 에 대하여, 는 위의 측도이다.
- 임의의 에 대하여, 는 가측 함수이다.
만약 임의의 에 대하여 가 확률 측도라면, 를 확률 추이 측도(確率推移測度, 영어: probability transition measure)이라고 한다.
두 가측 공간 와 사이의 추이 측도 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 가 존재한다면, 를 시그마 유한 추이 측도(-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다.
두 가측 공간 와 사이의 추이 측도 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가측 집합들의 족 및 가 존재한다면, 를 균등 시그마 유한 추이 측도(均等-有限推移測度, 영어: sigma-finite transition measure)라고 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 유한 개의 가측 공간
- 각 에 대하여, 와 사이의 시그마 유한 추이 측도 . (특히, 은 위의 시그마 유한 측도이다.)
그렇다면, 곱 가측 공간 위에 다음과 같은 시그마 유한 측도를 부여할 수 있다.
이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도이다.
또한, 임의의 적분 가능 가측 함수 에 대하여, 다음이 성립한다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 가산 무한 개의 가측 공간
- 각 에 대하여, 와 사이의 확률 추이 측도 . (특히, 은 위의 확률 측도이다.)
그렇다면, 이오네스쿠툴체아 정리(-定理, 영어: Ionescu Tulcea theorem)에 따르면 곱 가측 공간 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 확률 측도 가 존재한다.
3개의 가측 공간 , , 및 위의 확률 추이 측도 및 위의 확률 추이 측도 가 주어졌을 때, 위에 다음과 같은 확률 추이 측도를 정의할 수 있다.
확률 추이 측도의 합성은 결합 법칙을 만족시키며, 이에 따라 가측 공간과 확률 추이 측도는 범주를 이룬다.
두 가측 공간 , 및 위의 측도 가 주어졌을 때, 함수
는 와 사이의 추이 측도를 이룬다. 만약 가 시그마 유한 측도 · 확률 측도라면, 이는 각각 (균등) 시그마 유한 추이 측도 · 확률 추이 측도를 이룬다.
유한 이산 가측 공간 이 주어졌고, 행렬 가
를 만족시킬 때, 함수
는 위의 확률 추이 측도를 이룬다. 이 경우 확률 추이 측도의 합성은 행렬의 곱셈에 대응한다.
이오네스쿠툴체아 정리는 카시우스 토크빌 이오네스쿠툴체아(루마니아어: Cassius Tocqueville Ionescu-Tulcea)가 증명하였다.[1]
- ↑ Ionescu-Tulcea, Cassius Tocqueville (1949). “Mesures dans les espaces produits”. 《Atti della Accademia Nazionale dei Lincei Rendiconti della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (8)》 (프랑스어) 7: 208–211. MR 36288.