조화급수에 적용한 적분판정법. 곡선 y = 1 / x, x ∈ [1, ∞) 아래쪽의 면적이 무한하므로 직사각형들의 총면적 역시 무한하다.
미적분학에서 적분 판정법(積分判別法, integral test)은 음이 아닌 실수 항 급수와 음이 아닌 실수 값 함수의 이상 적분의 수렴성 사이의 관계를 나타내는 수렴 판정법이다.
음이 아닌 실수 값 감소함수
![{\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22e0e3813ce78c9a62957e81da67e89a05b6b47)
![{\displaystyle \forall x,y\in [0,\infty )\colon x\leq y\implies f(x)\geq f(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c28f92c17c217d18b2b474d3a0aff64b67772fe)
가 주어졌다고 하자. (특히,
는 임의의
에서 리만 적분 가능하다.) 적분 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:138–139, Exercise 8[2]:290, Proposition 11.6.4
- 급수
는 수렴한다.
- 이상 적분
은 수렴한다.
또한, (수렴 여부와 관계 없이) 다음 부등식이 성립한다.
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)\leq f(0)+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5d96f1d402e0467c164186e534ea0256c9c611)
음이 아닌 실수 항 급수의 합과 음이 아닌 실수 값 리만 적분 가능 함수의 이상 적분의 값은 음이 아닌 확장된 실수로서 항상 존재하며, 이들의 수렴 여부는 합이나 적분 값의 유한한지 여부와 동치이다. 임의의
및
에 대하여,
![{\displaystyle f(n+1)\leq f(x)\leq f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2b29736f8e9ac9ac40ec9d575280e1c3d4c379)
이다.
위의 리만 적분을 취하면
![{\displaystyle f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacc8c00d92f51c007143c8f75f740cde2cc6a1)
이 된다.
에 대한 급수를 취하면
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9c609985f1fe2d040a08e2a6d681ec52b9d36c)
이 된다. 이는
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}\int _{i}^{i+1}f(x)\,dx\\&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{n+1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25ad4cc47a871670a9f792bfddc313196b9c905)
임에 따른다. 따라서, 만약
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13eecacd90c9f8535b6a260ad69e0300498e2d9)
라면
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=0}^{\infty }f(n)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040edcae5ebff8036d000c34569560aa781b6f81)
이며, 만약
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf216402cdba2447a5782f4483b385db6909ebc8)
라면
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=f(0)+\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq a_{0}+\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91496cb6b0711f8b2298ecace3d56b2f2df66ee1)
이다. 즉, 수렴 여부가 동치다.
급수
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}\qquad (p\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877594fc0c76568f55a68740c6970fb763527882)
를 생각하자. (혹자는 이를 p-급수(영어: p-series)라고 부른다.) 만약
이라면, 이 급수는 자명하게 발산한다. 이제,
이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 이 급수의 수렴 여부는 다음 이상 적분이 수렴하는지 여부와 동치이다.
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fbb51aafd33557bba17558f39d38567f6e5d08)
만약
이라면,
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=\lim _{x\to \infty }(\ln x-\ln 1)=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5f8ac0b5e6bfad1f9957b5ae1e4278ef4b300e)
이다. 만약
이라면,
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{p}}}=\lim _{x\to \infty }\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t^{p}}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {x^{1-p}}{1-p}}-{\frac {1}{1-p}}\right)={\begin{cases}\infty &p<1\\1/(p-1)&p>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7331d1a21c271a423d3ca596ad310ea14dd99c9f)
이다. 따라서, 이 급수는
일 때 수렴하며,
일 때 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 라베 판정법의 증명은 이 급수의
에 따른 수렴 여부에 기반한다.
보다 일반적으로, 급수
![{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}\ln ^{q}n}}\qquad (p,q\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bd6271f721989d4328c06d35be1c53d290670e)
를 생각하자. 이전 예 및 비교 판정법에 의하여, 이 급수는
일 때 수렴하며,
일 때 발산한다. 이제
이라고 가정하자. 적분 판정법에 따라, 급수의 수렴 여부는 이상 적분
![{\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226a8dd84295bbd04ab319cf95b74a273b85ef0a)
의 수렴 여부와 같다. 이는
![{\displaystyle (x^{-1}\ln ^{-q}x)'=-x^{-2}\ln ^{-q}x+x^{-1}(-q)\ln ^{-q-1}x\cdot x^{-1}=-x^{-2}\ln ^{-q-1}x(\ln x+q)<0\qquad (x\gg 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29d86b49b1b5c286267a3b4cc7fdd00157356a8)
임에 따른다. 만약
이라면,
![{\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{2}^{x}{\frac {dt}{t\ln t}}=\lim _{x\to \infty }(\ln \ln x-\ln \ln 2)=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb50f94aad32f62d791c009a31dcda7f1edfd8d)
이다. 만약
이라면,
![{\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln ^{q}x}}=\lim _{x\to \infty }\int _{2}^{x}{\frac {dt}{t\ln ^{q}t}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {\ln ^{1-q}x}{1-q}}-{\frac {\ln ^{1-q}2}{1-q}}\right)={\begin{cases}\infty &q<1\\-\ln ^{1-q}2/(1-q)&q>1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6deb2b8b044e7d2f9f08a0a7f15ea853c02de58)
이다. 따라서, 이 급수는
이거나
,
일 때 수렴하며,
,
이거나
일 때 발산한다. 비 판정법·근 판정법·라베 판정법은 이 급수의 수렴 여부를 알아낼 수 없다. 베르트랑 판정법의 증명은 이 급수의
에 따른 수렴 여부에 기반한다.
마찬가지로, 급수
![{\displaystyle \sum _{n=\underbrace {{\mathrm {e} }^{{\mathrm {e} }^{\cdots ^{{\mathrm {e} }^{2}}}}} _{k-1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{p_{0}}(\ln n)^{p_{1}}\cdots (\underbrace {\ln \cdots \ln } _{k}\,n)^{p_{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d48b64afa44ff810e2ee1e5b23adcfe917793b7)
의 수렴 여부 또한 적분 판정법을 통하여 구할 수 있다.
위의 사전식 순서를
로 적을 때, 이 급수는
일 때 수렴하며,
일 때 발산한다.