미적분학 에서 아벨 판정법 (영어 : Abel's test )은 급수 의 수렴 판정법 의 하나다. 이에 따르면, 수렴급수 에 단조 유계 수열 을 이루는 계수를 붙여도 수렴한다.
두 실수 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
,
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
은 수렴한다.
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
은 단조수열 이자 유계 수열 이다.
아벨 판정법 에 따르면, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}}
역시 수렴한다.[ 1] :181 [ 2] :314, °1
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
은 단조수열 유계 수열 이므로, 어떤 실수로 수렴한다.
b
=
lim
n
→
∞
b
n
∈
R
{\displaystyle b=\lim _{n\to \infty }b_{n}\in \mathbb {R} }
라고 하자.
(
b
n
−
b
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n}-b)_{n=0}^{\infty }}
는 단조수열 이며, 0으로 수렴한다. 또한, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
이 수렴하므로, 부분합이 유계 수열 이다. 디리클레 판정법 에 의하여, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
(
b
n
−
b
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(b_{n}-b)}
는 수렴한다. 따라서, 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
b
n
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
b
n
−
b
)
+
b
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(b_{n}-b)+b\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
역시 수렴한다.
실수 값 함수
f
:
[
a
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }
가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
f
{\displaystyle f}
는 임의의
[
a
,
b
]
⊆
[
a
,
∞
)
{\displaystyle [a,b]\subseteq [a,\infty )}
에서 리만 적분 가능하며, 또한 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}
는 수렴한다.
g
{\displaystyle g}
는 단조함수 이자 유계 함수 이다.
그렇다면, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
는 수렴한다.
g
:
[
a
,
∞
)
→
R
{\displaystyle g\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }
가 단조 유계 함수 이므로, 극한
g
(
∞
)
=
lim
x
→
∞
g
(
x
)
∈
R
{\displaystyle g(\infty )=\lim _{x\to \infty }g(x)\in \mathbb {R} }
가 존재한다. 함수
x
↦
g
(
x
)
−
g
(
∞
)
{\displaystyle x\mapsto g(x)-g(\infty )}
는 단조함수 이며, 0으로 수렴한다. 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}
가 수렴하므로,
x
↦
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,dt}
는 유계 함수 이다. 이상 적분에 대한 디리클레 판정법 에 의하여, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
(
g
(
x
)
−
g
(
∞
)
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)(g(x)-g(\infty ))\,dx}
는 수렴한다. 따라서, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
∫
a
∞
f
(
x
)
(
g
(
x
)
−
g
(
∞
)
)
d
x
+
g
(
∞
)
∫
a
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{a}^{\infty }f(x)(g(x)-g(\infty ))\,dx+g(\infty )\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}
역시 수렴한다.
g
(
∞
)
=
lim
x
→
∞
g
(
x
)
∈
R
{\displaystyle g(\infty )=\lim _{x\to \infty }g(x)\in \mathbb {R} }
이라고 하자. 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여,
|
g
(
x
)
|
<
2
|
g
(
∞
)
|
(
∀
x
>
N
(
ϵ
)
)
{\displaystyle |g(x)|<2|g(\infty )|\qquad (\forall x>N(\epsilon ))}
|
∫
x
y
f
(
t
)
d
t
|
<
ϵ
4
|
g
(
∞
)
|
+
1
(
∀
y
>
x
>
N
(
ϵ
)
)
{\displaystyle \left|\int _{x}^{y}f(t)\,dt\right|<{\frac {\epsilon }{4|g(\infty )|+1}}\qquad (\forall y>x>N(\epsilon ))}
인
N
(
ϵ
)
>
a
{\displaystyle N(\epsilon )>a}
가 존재한다. 제2 적분 평균값 정리 에 따라, 임의의
y
>
x
>
N
(
ϵ
)
{\displaystyle y>x>N(\epsilon )}
에 대하여, 어떤
c
(
x
,
y
)
∈
[
x
,
y
]
{\displaystyle c(x,y)\in [x,y]}
가 존재하며, 다음이 성립한다.
|
∫
x
y
f
(
t
)
g
(
t
)
d
t
|
=
|
g
(
x
)
∫
x
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
+
g
(
y
)
∫
c
(
x
,
y
)
y
f
(
t
)
d
t
|
≤
2
|
g
(
∞
)
|
(
|
∫
x
c
(
x
,
y
)
f
(
t
)
d
t
|
+
|
∫
c
(
x
,
y
)
y
f
(
t
)
d
t
|
)
≤
2
|
g
(
∞
)
|
⋅
2
⋅
ϵ
4
|
g
(
∞
)
|
+
1
<
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{x}^{y}f(t)g(t)\,dt\right|&=\left|g(x)\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt+g(y)\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\\&\leq 2|g(\infty )|\left(\left|\int _{x}^{c(x,y)}f(t)\,dt\right|+\left|\int _{c(x,y)}^{y}f(t)\,dt\right|\right)\\&\leq 2|g(\infty )|\cdot 2\cdot {\frac {\epsilon }{4|g(\infty )|+1}}\\&<\epsilon \end{aligned}}}
따라서, 이상 적분
∫
a
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,dx}
은 수렴한다.
집합
X
{\displaystyle X}
및 두 실수 값 함수 의 열
(
f
n
,
g
n
:
X
→
R
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (f_{n},g_{n}\colon X\to \mathbb {R} )_{n=0}^{\infty }}
이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
함수 항 급수
∑
n
=
0
∞
f
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}}
는 균등 수렴 한다.
(
g
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}
은 균등 유계 함수열 이다. 또한, 임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
(
g
n
(
x
)
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n}(x))_{n=0}^{\infty }}
는 단조수열 이다.
그렇다면, 함수 항 급수
∑
n
=
0
∞
f
n
g
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}}
역시 균등 수렴 한다. 이에 대한 증명은 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법의 직접적 증명을 조금 고치면 된다. 디리클레 판정법을 통한 증명은 더 이상 유효하지 않다. 구체적으로,
(
g
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}
은 점별 극한
g
:
X
→
R
{\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }
을 갖지만,
g
{\displaystyle g}
로 균등 수렴 할 필요가 없다. 만약
X
{\displaystyle X}
가 한원소 집합 이라면, 이는 실수 항 급수에 대한 아벨 판정법이다.
아벨 판정법에 따라, 임의의 수렴급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
에 대하여, 다음 급수들 역시 수렴한다.[ 2] :315, Examples and applications 1
∑
n
=
1
∞
n
+
1
n
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n}}a_{n}}
∑
n
=
1
∞
n
n
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{n}}a_{n}}
∑
n
=
1
∞
(
1
+
1
n
)
n
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}a_{n}}
↑ 가 나 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8 .
↑ 가 나 Knopp, Konrad (1951). 《Theory and application of infinite series》 (영어). 번역 Young, R. C. H.. Translated from the 2nd edition and revised in accordance with the fourth by R. C. H. Young. 2판. London–Glasgow: Blackie & Son. Zbl 0042.29203 .