단조함수항 급수의 항별 미분에 관한 정리에 대해서는
푸비니의 미분 정리 문서를 참고하십시오.
해석학 에서 푸비니 정리 (-定理, 영어 : Fubini’s theorem ) 또는 푸비니-토넬리 정리 (-定理, 영어 : Fubini-Tonelli theorem )는 이중 적분 은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다.
다음이 주어졌다고 하자.
시그마 유한 측도 공간
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
가측 공간
(
Y
,
G
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}
시그마 유한 추이 측도
ν
:
X
×
G
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \nu \colon X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]}
그렇다면, 곱 가측 공간
(
X
×
Y
,
F
×
G
)
{\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}
위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도
μ
×
ν
{\displaystyle \mu \times \nu }
가 존재하며, 이는 시그마 유한 측도 를 이룬다.
(
μ
×
ν
)
(
A
×
B
)
=
∫
A
ν
(
x
,
B
)
d
μ
(
x
)
(
∀
A
∈
F
,
B
∈
G
)
{\displaystyle (\mu \times \nu )(A\times B)=\int _{A}\nu (x,B)\mathrm {d} \mu (x)\qquad (\forall A\in {\mathcal {F}},\;B\in {\mathcal {G}})}
구체적으로 이 측도는 다음과 같다.
(
μ
×
ν
)
(
S
)
=
∫
X
ν
(
x
,
{
y
∈
Y
:
(
x
,
y
)
∈
S
}
)
d
μ
(
x
)
(
∀
S
∈
F
×
G
)
{\displaystyle (\mu \times \nu )(S)=\int _{X}\nu (x,\{y\in Y\colon (x,y)\in S\})\mathrm {d} \mu (x)\qquad (\forall S\in {\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}
또한, 일반화 푸비니 정리 (一般化-定理, 영어 : generalized Fubini’s theorem )에 따르면, 다음이 성립한다.
임의의 음이 아닌 가측 함수
f
:
X
×
Y
→
(
[
0
,
∞
)
,
B
(
[
0
,
∞
)
)
)
{\displaystyle f\colon X\times Y\to ([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )))}
에 대하여, 다음 함수는 가측 함수 이다.
(
X
,
F
)
→
(
[
0
,
∞
]
,
B
(
[
0
,
∞
]
)
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}
x
↦
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
x
,
⋅
)
(
y
)
{\displaystyle x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (x,\cdot )(y)}
임의의 가측 함수
f
:
X
×
Y
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle f\colon X\times Y\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
에 대하여, 만약
f
{\displaystyle f}
의 적분이 확장된 실수 로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약
f
{\displaystyle f}
가
(
μ
×
ν
)
{\displaystyle (\mu \times \nu )}
-적분 가능하다면, 거의 모든
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여,
y
↦
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto f(x,y)}
는
ν
(
x
,
⋅
)
{\displaystyle \nu (x,\cdot )}
-적분 가능하다.)[ 1] :384–385, Theorem 10.7.2
∫
X
×
Y
f
d
(
μ
×
ν
)
=
∫
X
d
μ
(
x
)
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
x
,
⋅
)
(
y
)
{\displaystyle \int _{X\times Y}f\mathrm {d} (\mu \times \nu )=\int _{X}\mathrm {d} \mu (x)\int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (x,\cdot )(y)}
두 시그마 유한 측도 공간
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
와
(
Y
,
G
,
ν
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},\nu )}
가 주어졌다고 하자. 또한
(
X
×
Y
,
F
×
G
,
μ
×
ν
)
{\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}},\mu \times \nu )}
가 곱측도 공간이라고 하자. 푸비니 정리 에 따르면, 다음이 성립한다.[ 2] :164–165
임의의 음이 아닌 가측 함수
f
:
X
×
Y
→
(
[
0
,
∞
)
,
B
(
[
0
,
∞
)
)
)
{\displaystyle f\colon X\times Y\to ([0,\infty ),{\mathcal {B}}([0,\infty )))}
에 대하여, 다음 두 함수는 가측 함수 이다.
(
X
,
F
)
→
(
[
0
,
∞
]
,
B
(
[
0
,
∞
]
)
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}
x
↦
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
{\displaystyle x\mapsto \int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (y)}
(
Y
,
G
)
→
(
[
0
,
∞
]
,
B
(
[
0
,
∞
]
)
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})\to ([0,\infty ],{\mathcal {B}}([0,\infty ]))}
y
↦
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle y\mapsto \int _{X}f(x,y)\mathrm {d} \mu (x)}
임의의 가측 함수
f
:
X
×
Y
→
(
R
,
B
(
R
)
)
{\displaystyle f\colon X\times Y\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}
에 대하여, 만약
f
{\displaystyle f}
의 적분이 확장된 실수 로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약
f
{\displaystyle f}
가
(
μ
×
ν
)
{\displaystyle (\mu \times \nu )}
-적분 가능하다면, 거의 모든
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여
y
↦
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto f(x,y)}
는
ν
{\displaystyle \nu }
-적분 가능하며, 거의 모든
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
에 대하여
x
↦
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle x\mapsto f(x,y)}
는
μ
{\displaystyle \mu }
-적분 가능하다.)[ 3] :185, Theorem 3.4.4
∫
X
×
Y
f
d
(
μ
×
ν
)
=
∫
X
d
μ
(
x
)
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
ν
(
y
)
=
∫
Y
d
ν
(
y
)
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
μ
(
x
)
{\displaystyle \int _{X\times Y}f\mathrm {d} (\mu \times \nu )=\int _{X}\mathrm {d} \mu (x)\int _{Y}f(x,y)\mathrm {d} \nu (y)=\int _{Y}\mathrm {d} \nu (y)\int _{X}f(x,y)\mathrm {d} \mu (x)}
이는 추이 측도 에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다.
X
×
G
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle X\times {\mathcal {G}}\to [0,\infty ]}
(
x
,
B
)
↦
ν
(
B
)
{\displaystyle (x,B)\mapsto \nu (B)}
Y
×
F
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle Y\times {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}
(
y
,
A
)
↦
μ
(
A
)
{\displaystyle (y,A)\mapsto \mu (A)}
직사각형
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
⊆
R
{\displaystyle [a,b]\times [c,d]\subseteq \mathbb {R} }
위에 정의된 함수
f
:
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
→
R
{\displaystyle f\colon [a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R} }
가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
f
{\displaystyle f}
는
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
{\displaystyle [a,b]\times [c,d]}
위에서 리만 적분 가능하다.
임의의
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
에 대하여,
y
↦
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto f(x,y)}
는
[
c
,
d
]
{\displaystyle [c,d]}
위에서 리만 적분 가능하다.
임의의
y
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle y\in [a,b]}
에 대하여,
x
↦
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle x\mapsto f(x,y)}
는
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
위에서 리만 적분 가능하다.
그렇다면, 다음이 성립한다.[ 4] :376
x
↦
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle x\mapsto \int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}
와
y
↦
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle y\mapsto \int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x}
는
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
위에서 리만 적분 가능하다.
∬
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
d
x
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
c
d
d
y
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y=\int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x}
다르부 적분 의 정의에 따라, 임의의
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
에 대하여 리만 적분
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle \int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}
가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.
L
∬
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
≤
L
∫
a
b
d
x
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
≤
U
∫
a
b
d
x
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
≤
U
∬
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
{\displaystyle \operatorname {L} \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\leq \operatorname {L} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y\leq \operatorname {U} \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y\leq \operatorname {U} \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y}
여기서
U
{\displaystyle \operatorname {U} }
와
L
{\displaystyle \operatorname {L} }
은 각각 다르부 상적분 과 다르부 하적분 을 나타낸다. 따라서 만약 추가로
f
{\displaystyle f}
가
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
{\displaystyle [a,b]\times [c,d]}
에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분
∫
a
b
d
x
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}
가 존재하며
∬
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
d
x
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle \iint _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}
이다. 남은 절반의 증명은 유사하다.
확장된 실수
a
<
b
{\displaystyle a<b}
및 실수
c
<
d
{\displaystyle c<d}
및 함수
f
:
(
a
,
b
)
×
[
c
,
d
]
→
R
{\displaystyle f\colon (a,b)\times [c,d]\to \mathbb {R} }
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
f
{\displaystyle f}
는 연속 함수 이다.
이상 적분
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x}
는
y
∈
[
c
,
d
]
{\displaystyle y\in [c,d]}
위에서 균등 수렴 한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.[ 4] :391
이상 적분
∫
a
b
d
x
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}
가 존재한다.
∫
c
d
d
y
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
=
∫
a
b
d
x
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
{\displaystyle \int _{c}^{d}\mathrm {d} y\int _{a}^{b}f(x,y)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\mathrm {d} x\int _{c}^{d}f(x,y)\mathrm {d} y}
그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다.
이탈리아 의 수학자 귀도 푸비니 의 이름이 붙어 있다.