공종도

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집합론에서, 공종도(共終度, 영어: cofinality)는 주어진 원순서 집합공종 집합의 최소 크기이다. 이는 원순서 집합의 일종의 복잡도를 나타낸다.

정의[편집]

임의의 원순서 집합 에 대하여, 공종도 공종 집합들의 크기들의 최솟값이다.[1]:198, §1 마찬가지로, 공시작도 공시작 집합들의 크기들의 최솟값이다.

순서수의 공종도[편집]

정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 이 경우, 순서수 공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는 의 공종도와 일치한다.[2]:32, Definition I.10.30

기수의 공종도[편집]

기수 공종도 는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수 의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.

즉, 를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다.

순서수 에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 정칙 기수(正則基數, 영어: regular cardinal)라고 한다.

  • 공종도 함수의 고정점이다. 즉, 이다.[1]:198, §1[2]:33, Definition I.10.34
  • 임의의 순서수들의 집합 에 대하여, 라면 (즉, 공종 집합이라면) 와 순서 동형이다.
  • 기수이며, 이며, 개 미만의, 미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 기수의 집합 에 대하여 라면 이거나, 가 존재한다. (여기서 은 기수의 합이다.)
  • 기수이며, 크기 미만인 집합들의 범주 는 크기 미만의 모든 쌍대 극한을 갖는다.

(일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.) 만약 라면, 특이 기수(特異基數, 영어: singular cardinal)라고 한다. 는 불가능하다.

성질[편집]

공종도 함수는 멱등 함수이다.[2]:33, Corollary I.10.33 즉, 모든 순서수 에 대하여

이다. 즉, 는 항상 정칙 기수이다.

임의의 순서수 에 대하여 다음이 성립한다.

이는 전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다.

임의의 무한 기수 에 대하여 다음이 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.)

1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다.

[편집]

유한 순서수[편집]

임의의 양의 자연수 의 경우, (따름 순서수이므로) 이다. 0의 경우 이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다.

임의의 순서수 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

따름 순서수[편집]

임의의 순서수 에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

  • 따름 순서수이다.

이는 공종 집합이기 때문이다.

극한 순서수[편집]

임의의 극한 순서수 에 대하여,

이므로

이다.

이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 에 대하여

이다.

정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 이며,

이다. 반면

이므로,

이다. 그러나 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 보다 클 수도, 작을 수도 있다.

편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.

  • 임의의 순서수 에 대하여,
  • 임의의 기수 에 대하여,

정렬 전순서 집합이 아닌 경우[편집]

실수의 전순서 집합 의 공종도는 이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합 공종 집합이기 때문이다.

확장된 실수전순서 집합 의 공종도는 1이다. 이는 최대 원소 를 갖기 때문이다.

집합 의 진부분 집합들의 멱집합 의 공종도는 이다. 이는 공종 집합

이 최소의 공종 집합이기 때문이다.

닫힌 원순서 집합 의 공종도는 극대 원소들의 동치류들의 수이다.

참고 문헌[편집]

  1. Shelah, Saharon (1992년 4월). “Cardinal arithmetic for skeptics”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 26 (2): 197–210. arXiv:math/9201251. Bibcode:1992math......1251S. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00261-6. ISSN 0273-0979. MR 1112424. 
  2. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 

바깥 고리[편집]