사다리꼴 공식

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사다리꼴 근사. 적분될 함수의 2차 도함수가 음수이므로, 사다리꼴 공식 근사는 실제 정적분보다 더 작다.
일 경우의 사다리꼴 근사는 임의의 함수를 선형 함수로 어림한다.

수치 해석에서, 사다리꼴 공식(-公式, 영어: trapezoidal rule)은 정적분을 근사하는 한 수치적분 방법이다.[1] 사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 일련의 사다리꼴들의 넓이의 합으로 근사한다. 사다리꼴 공식은 뉴턴-코츠 공식이라는 적분 근사법들의 족(族)의 특수한 경우이며, 매끄러운 함수의 경우 비슷한 계산 복잡도를 갖는 심프슨의 법칙보다 일반적으로 덜 정확하다. 반면, 주기 함수를 적분할 때 사다리꼴 공식은 특별히 더 정확한데, 이는 오일러-매클로린 합산식으로 설명이 가능하다. 반면, 비주기적이며, 매끄럽지 않을 수 있는 함수를 적분할 때에는 클렌쇼-커티스 구적법 또는 가우스 구적법 따위가 더 적합하다.

정의[편집]

닫힌구간 위의 적분 가능 함수

및 수열

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분

사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

특히, 일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

성질[편집]

사다리꼴 공식 근사의 오차

를 생각하자. 만약 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 가 존재한다.

증명:

다음과 같은 함수들을 정의하자.

즉,

이다. 그러면

이다. 즉,

를 정의하면,

이며, 이를 두 번 적분하면

가 된다. 즉,

이다. 연속 함수라고 가정하였으므로, 중간값 정리에 따라

가 존재한다.

특히, 만약 들이 산술 수열을 이룬다면,

가 된다. 즉, 일 때, 오차는 의 속도로 0으로 수렴한다.

특히, 만약 가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 보다 더 작으며, 반대로 가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 보다 더 크다.

참고 문헌[편집]

  1. Atkinson, Kendall E. 《An introduction to numerical analysis》 (영어) 2판. ISBN 0-47162489-6. OCLC 17551990. 

외부 링크[편집]