심프슨 공식

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임의의 함수 f(x) 의 적분값은 이차 함수 P(x) 의 적분값으로 어림 잡을 수 있다.

심프슨 공식(영어: Simpson's rule)은 수치 해석에서 뉴턴-코츠 법칙의 한 경우로, 토머스 심프슨이 만든 적분법이다. 이 법칙은 다음과 같은 적분식의 근사값을 구하는 데 쓰인다.

기본[편집]

심프슨 공식은 라는 이차방정식을 이용해 의 근사값을 구한다. 이때 a, b, 그리고 둘의 중간값 에서 와 같은 값을 갖는 근사식이다. 라그랑주의 다항식 보간법을 사용해서 를 구하면 다음을 얻는다.

이 식을 전개하면 심프슨 공식으로 알려진 다음 공식을 구할 수 있다.

이 공식으로 적분을 구할 때 생기는 오차는 다음과 같다. 여기서 ab 사이에 있는 임의의 숫자이다.

심프슨 공식의 확장[편집]

위의 공식은 적분 구간 이 작을 때는 적합하지만 그렇지 않으면 상당한 오차를 가진 값이 나온다. 대부분의 경우 적분 구간이 작지 않으므로, 먼저 몇 개의 작은 구간으로 나누고 각 구간에 심프슨의 법칙을 적용해 그 값들을 합해야 한다. 여기서 확장된 공식을 유도할 수 있다.

이 식에서 은 구간 을 나눈 부분구간의 총 개수를 뜻하며 짝수여야 하고, 은 각 부분구간의 길이이다. 이 공식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수도 있다.

심프슨의 법칙의 오차로부터 이 공식의 오차를 다음과 같이 구할 수 있다. 여기서 이며 각 부구간의 크기를 나타낸다.

같이 보기[편집]