이상 적분

해석학에서 이상 적분(異常積分, 영어: improper integral)은 보통의 적분이 적분 상한이나 하한이 변할 때 취하는 극한으로 정의되는 적분이다. 리만 적분을 비롯한 일부 적분들의 정의를 넓혀준다.

정의

실수 구간에 정의된 실숫값 함수

f\colon [a,b]\setminus \{-\infty ,\infty \}\to \mathbb {R} \qquad (-\infty \leq a<b\leq \infty )

에 대하여, 다음을 만족시키는 $n\in \mathbb {N}$ 및 $a=c_{0}<c_{1}<\cdots <c_{n}=b$ 가 존재한다고 하자.

임의의 $k=1,2,\dots ,n$ 및 $[\gamma _{k},\delta _{k}]\subseteq (c_{k-1},c_{k})$ 에 대하여, $\int _{\gamma _{k}}^{\delta _{k}}f(x)\mathrm {d} x\in \mathbb {R}$ 가 존재한다.

그렇다면, $f$ 의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

{\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x&=\lim _{\gamma _{1}\to c_{0}+0}\lim _{\delta _{1}\to c_{1}-0}\cdots \lim _{\gamma _{n}\to c_{n-1}+0}\lim _{\delta _{n}\to c_{n}-0}\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}^{\delta _{k}}f(x)\mathrm {d} x\\&=\sum _{k=1}^{n}\left(\lim _{\gamma _{k}\to c_{k-1}+0}\int _{\gamma _{k}}^{\frac {x_{k-1}+x_{k}}{2}}f(x)\mathrm {d} x+\lim _{\delta _{k}\to c_{k}-0}\int _{\frac {x_{k-1}+x_{k}}{2}}^{\delta _{k}}f(x)\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}

물론 이상 적분은 존재하지 않을 수 있다. 존재한다면, 이상 적분이 수렴(收斂)한다고 하며, 존재하지 않는다면, 이상적분이 발산(發散)한다고 한다. 함수의 절댓값의 이상 적분

\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x

의 수렴은 원래 이상 적분의 수렴보다 더 강한 조건이다. 절댓값의 이상 적분이 수렴한다면, 원래 이상 적분이 절대 수렴(絶對收斂)한다고 한다. 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 이상 적분을 조건 수렴(條件收斂)한다고 한다.

특이 적분

특히, 실수 함수 $f\colon [a,b)\to \mathbb {R} \qquad (-\infty <a<b\leq \infty )$ 가 임의의 $[a,\beta ]\subseteq [a,b)$ 위의 적분 가능 함수라고 할 때, $f$ 의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\beta \to b-0}\int _{a}^{\beta }f(x)\mathrm {d} x

마찬가지로, 실수 함수 $f\colon (a,b]\to \mathbb {R} \qquad (-\infty \leq a<b<\infty )$ 가 임의의 $[\alpha ,b]\subseteq (a,b]$ 위의 적분 가능 함수라고 할 때, $f$ 의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \to a+0}\int _{\alpha }^{b}f(x)\mathrm {d} x

또한, 실수 함수 $f\colon (a,b)\to \mathbb {R} \qquad (-\infty \leq a<b\leq \infty )$ 가 임의의 $[\alpha ,\beta ]\subseteq (a,b)$ 위의 적분 가능 함수라고 할 때, $f$ 의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \to a+0}\lim _{\beta \to b-0}\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \to a+0}\int _{\alpha }^{\frac {a+b}{2}}f(x)\mathrm {d} x+\lim _{\beta \to b-0}\int _{\frac {a+b}{2}}^{\beta }f(x)\mathrm {d} x

또한, 실수 함수 $f\colon [a,b]\to \mathbb {R} \qquad (-\infty <a<c<b<\infty )$ 가 임의의 $[a,\delta ]\subseteq [a,c)$ 및 $[\gamma ,b]\subseteq (c,b]$ 위의 적분 가능 함수라고 할 때, $f$ 의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\delta \to c-0}\lim _{\gamma \to c+0}\left(\int _{a}^{\delta }f(x)\mathrm {d} x+\int _{\gamma }^{b}f(x)\mathrm {d} x\right)=\lim _{\delta \to c-0}\int _{a}^{\delta }f(x)\mathrm {d} x+\lim _{\gamma \to c+0}\int _{\gamma }^{b}f(x)\mathrm {d} x

위와 같은 여러 경우에, 만약 피적분 함수가 직접 적분하지 못하는 곳의 임의의 근방에서 무계 함수라면, 그 이상 적분을 특이 적분(特異積分, 영어: singular integral)이라고 한다.

무한대 적분

특히, 실수 함수 $f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} \qquad (a\in \mathbb {R} )$ 가 임의의 $[a,\beta ]\subseteq [a,\infty )$ 위의 적분 가능 함수라고 할 때, $f$ 의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

\int _{a}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\beta \to \infty }\int _{a}^{\beta }f(x)\mathrm {d} x

마찬가지로, 실수 함수 $f\colon (-\infty ,b]\to \mathbb {R} \qquad (b\in \mathbb {R} )$ 가 임의의 $[\alpha ,b]\subseteq (-\infty ,b]$ 위의 적분 가능 함수라고 할 때, $f$ 의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

\int _{-\infty }^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \to -\infty }\int _{\alpha }^{b}f(x)\mathrm {d} x

또한, 실수 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 가 임의의 $[\alpha ,\beta ]\subseteq \mathbb {R}$ 위의 적분 가능 함수라고 할 때, $f$ 의 이상 적분은 다음과 같은 극한이다.

\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \to -\infty }\lim _{\beta \to \infty }\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \to -\infty }\int _{\alpha }^{0}f(x)\mathrm {d} x+\lim _{\beta \to \infty }\int _{0}^{\beta }f(x)\mathrm {d} x

이와 같이 적분 상한이 양의 무한대이거나, 적분 하한이 음의 무한대인 이상 적분을 무한대 적분(無限大積分)이라고 한다.

코시 주요값

(수렴하지 않을 수 있는) 이상 적분에 대하여 코시 주요값(Cauchy主要-, 영어: Cauchy principal value) 또는 코시 주치(Cauchy主値)라 불리는 값을 줄 수 있다. 즉, 이상 적분

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\gamma _{1}\to c_{0}+0}\lim _{\delta _{1}\to c_{1}-0}\cdots \lim _{\gamma _{n}\to c_{n-1}+0}\lim _{\delta _{n}\to c_{n}-0}\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}^{\delta _{k}}f(x)\mathrm {d} x

의 코시 주요값은

\operatorname {PV} \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \to 0+0}\sum _{k=1}^{n}\int _{c_{k-1}+\epsilon }^{c_{k}-\epsilon }f(x)\mathrm {d} x

이다. 특수한 경우의 이상 적분의 코시 주요 값은 다음과 같다.

이상 적분	코시 주요값
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \to a+0}\lim _{\beta \to b-0}\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x$	$\operatorname {PV} \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \to 0+0}\int _{a+\epsilon }^{b-\epsilon }f(x)\mathrm {d} x$
$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\delta \to c-0}\lim _{\gamma \to c+0}\left(\int _{a}^{\delta }f(x)\mathrm {d} x+\int _{\gamma }^{b}f(x)\mathrm {d} x\right)$	$\operatorname {PV} \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\epsilon \to 0+0}\left(\int _{a}^{c-\epsilon }f(x)\mathrm {d} x+\int _{c+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm {d} x\right)$
$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\alpha \to -\infty }\lim _{\beta \to \infty }\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm {d} x$	$\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\gamma \to \infty }\int _{-\gamma }^{\gamma }f(x)\mathrm {d} x$

주요 적분의 이상 적분

리만 적분

(이상 적분을 사용하지 않는) 리만 적분은 유계 함수의 유계 구간 위의 적분에 제한된다. 그러나, 이상 적분을 사용하는 리만 적분은 무계 함수의 적분이나, 무계 구간 위의 적분이 일부 허용된다. 리만 적분은 르베그 적분보다 좁은 의미의 적분이나, 이상 적분을 사용하는 리만 적분은 르베그 적분에서만 가능했던 적분이 일부 허용되며, 르베그 적분에서 불가능한 적분 역시 일부 허용된다.