야코비 행렬

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벡터 미적분학에서, 야코비 행렬(영어: Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수도함수 행렬이다. 야코비 행렬식(영어: Jacobian determinant)은 야코비 행렬의 행렬식이다.

정의[편집]

유클리드 공간연결 열린집합 에 정의된 함수 야코비 행렬

을 만족시키는 행렬이다. 즉, 야코비 행렬은 함수의 주요 선형 부분의 계수 행렬이다. 야코비 행렬이 존재하는 함수를 미분 가능하다고 한다.

야코비 행렬은 등등으로도 표기된다.

미분 가능 함수의 야코비 행렬의 각각의 성분은 함수의 각각의 성분의 각각의 변수에 대한 편미분이다. 즉,

즉,

인 경우, 의 야코비 행렬은 정사각행렬이므로 그 행렬식 를 취할 수 있다. 이를 야코비 행렬식이라고 한다.

인 경우, 의 야코비 행렬은 행렬이며, 이는 함수의 기울기 와 같다.

[편집]

이변수 함수

의 야코비 행렬은

이며, 야코비 행렬식은

(즉, 영함수 )이다.

성질[편집]

유클리드 공간의 연결 열린집합 에 정의된 함수

가 주어졌다고 하자.

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 미분 가능 함수이다.
  • 임의의 에 대하여, 는 미분 가능 함수이다.

특히, 만약 의 모든 편미분이 존재하며, 모두 연속 함수라면, 모든 는 미분 가능 함수이므로, 는 미분 가능 함수이다. 이 경우 연속 미분 가능 함수라고 한다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]