연속 함수: 두 판 사이의 차이
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[[실수]] 집합에서 정의되는 함수 ''f''와 정의역에 속하는 임의의 원소 ''c''가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 ''f''는 ''c''에서 연속이다. |
[[실수]] 집합에서 정의되는 함수 ''f''와 정의역에 속하는 임의의 원소 ''c''가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 ''f''는 ''c''에서 연속이다. |
2013년 1월 11일 (금) 15:50 판
연속 함수는 어떤 임의의 작은 입력값의 변화에 따른 결과값의 변화도 작은 함수를 말한다.
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미적분학 |
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정의
하이네의 정의
다음은 에두아르트 하이네의 정의이다.
- 실수 집합의 한 부분집합에서 실수 집합으로 가는 함수 가 주어져 있다고 하자. 이고, 가 로 수렴하는 의 임의의 수열이라 하자. 즉, 이다. 이 때, 만일 를 만족할 때, 는 에서 연속이다. 또한, 만일 임의의 에 대하여 위 조건이 만족된다면, 는 전체에서 연속함수가 된다.
엡실론-델타 논법
수열의 극한을 쓰지 않고 함수의 연속성을 다음과 같이 정의할 수 있다.
실수 집합에서 정의되는 함수 f와 정의역에 속하는 임의의 원소 c가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 f는 c에서 연속이다.
- 임의의 수 ε>0에 대해, c−δ < x < c+δ에 속하는 모든 x에 대해 f(c)−ε < f(x) < f(c)+ε을 만족하는 양수 δ가 존재한다.
다시 말해, 실수 집합의 부분집합 A와 B에 대해, f: A→B가 c∈A에서 연속이라는 것은 곧 모든 수 ε > 0에 대해 x ∈ A이고 |x-c| < δ이면 항상 |f(x)-f(c)| < ε를 만족하는 δ > 0가 존재한다는 것이다.
이를 극한으로 나타내면 이다.
좌연속성과 우연속성
함수 , 집합 와 실수 가 있다 하자.
1. 이면 가 점 에서 우연속(right-continuous)이라고 한다.
2. 이면 가 점 에서 좌연속(left-continuous)이라고 한다.
위상공간에서의 연속함수
연속함수에 대한 위의 정의는 위상공간들 사이의 함수에 대해 적용되도록 일반화할 수 있다. 함수 가 위상공간 에서 위상공간 로의 함수라 하자. 이때 임의의 열린 집합 에 대해 그 역상 도 열린 집합일 경우 를 연속함수라 한다.
연속함수의 대수
집합 이 있고, 를 에서 정의된 모든 연속인 실수값함수의 집합이라 하자.
함수 라 하면, 두 함수간 연산에 대해 다음이 성립한다.
- 는 임의의 실수
- 는 정의역 내 어느 점에 대해서도 0이 아닌 함수이다.