위상 공간 (수학)

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일반위상수학에서, 위상 공간(位相空間, 영어: topological space)은 어떤 점의 "근처"가 무엇인지에 대한 정보를 담고 있지만, 점 사이의 거리나 넓이·부피 따위의 정보를 포함하지 않는 공간이다. 이를 사용하여, 함수의 연속성이나 수열의 극한, 집합의 연결성 등을 정의할 수 있다.

위상 공간의 개념은 위상수학 및 이를 기초로 하는 기하학 · 해석학에서 핵심적으로 사용된다. 위상 공간의 일반적인 성질을 연구하는 분야를 일반위상수학이라고 한다.

정의[편집]

집합 X 위의 위상(位相, 영어: topology)은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다.

  • (열린집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임 \mathcal T\subseteq\mathcal P(X). 이 경우, \mathcal T의 원소들을 열린집합이라고 한다.
    • \varnothing,X\in\mathcal T
    • 만약 \mathcal S\subseteq\mathcal T라면, \bigcup\mathcal S\in\mathcal T
    • 만약 U,V\in\mathcal T라면, U\cap V\in\mathcal T
  • (닫힌집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임 \mathcal C\subseteq\mathcal P(X). 이 경우, \mathcal C의 원소들을 닫힌집합이라고 한다.
    • \varnothing,X\in\mathcal C
    • 만약 \mathcal S\subseteq\mathcal C라면, \bigcap\mathcal S\in\mathcal C
    • 만약 C,D\in\mathcal T라면, C\cup D\in\mathcal C
  • (근방을 사용한 정의) 함수 \mathcal N\colon X\to\mathcal P(\mathcal P(X)). 이 경우 \mathcal N\colon x\mapsto\mathcal N_x로 쓰고, \mathcal N_x의 원소를 x근방이라고 한다.
    • 모든 x\in X에 대하여, 만약 N\in\mathcal N_x라면 x\in N
    • 만약 N\in\mathcal N_x이며 N\subseteq S\subseteq X라면, S\in\mathcal N_x
    • 만약 M,N\in\mathcal N_x라면 M\cap N\in\mathcal N_x
    • 만약 N\in\mathcal N_x라면, N\in\mathcal N_y\qquad\forall y\in MM\in\mathcal N_x가 존재한다.
  • (폐포를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 \operatorname{cl}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X). 이 경우, \operatorname{cl}SS폐포라고 한다.
    • \operatorname{cl}\varnothing = \varnothing
    • 모든 A\subseteq X에 대하여, A\subseteq\operatorname{cl} A
    • 모든 A,B\subseteq X에 대하여, \operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B)
    • 모든 A\subseteq X에 대하여, \operatorname{cl}(\operatorname{cl}A) = \operatorname{cl}A
  • (내부를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 \operatorname{int}\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(X). 이 경우, \operatorname{int}SS내부라고 한다.
    • \operatorname{int}X = X
    • 모든 A\subseteq X에 대하여, A\supseteq\operatorname{int}A
    • 모든 A,B\subseteq X에 대하여, \operatorname{int}(A \cap B) = \operatorname{int}(A) \cap \operatorname{int}(B)
    • 모든 A\subseteq X에 대하여, \operatorname{int}(\operatorname{int}A) = \operatorname{int}A

이 정의들은 서로 동치이다.

  • 열린집합을 사용한 정의에서,
  • 닫힌집합을 사용한 정의에서, 열린집합은 닫힌집합의 여집합이다.
  • 근방을 사용한 정의에서, 열린집합\forall x\in U\colon U\in\mathcal N_x 인 집합 U이다.
  • 폐포를 사용한 정의에서, 열린집합\operatorname{cl}(X\setminus U)=X\setminus U인 집합 U이다.
  • 내부를 사용한 정의에서, 열린집합\operatorname{int}(U)=U인 집합 U이다.

즉, 근방 · 열린집합 · 닫힌집합 · 폐포 · 내부 가운데 하나를 기본 무정의 개념으로 삼고, 이로부터 나머지 개념들을 정의할 수 있다.

위상 공간 (X,\mathcal T)은 위상을 갖춘 집합이다.

위상의 비교[편집]

같은 집합 X 위의 두 위상 \mathcal T_1, \mathcal T_2에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 \mathcal T_1\mathcal T_2보다 더 섬세하다(-纖細-, 영어: finer)고 하며, 반대로 \mathcal T_2\mathcal T_1보다 더 거칠다(영어: coarser)고 한다.

  • \mathcal T_2\subseteq\mathcal T_1. 즉, 모든 \mathcal T_2-열린 집합은 \mathcal T_1-열린 집합이다.
  • 모든 \mathcal T_2-닫힌집합은 \mathcal T_1-닫힌집합이다.
  • \mathcal T_1기저 \mathcal B_1\mathcal T_2의 기저 \mathcal B_2가 주어졌을 때, 모든 x\in Xx\in B_2\in\mathcal B_2에 대하여, x\in B_1\subseteq B_2B_1\in\mathcal B_1이 존재한다.

성질[편집]

격자론적 성질[편집]

주어진 위상 공간 (X,\mathcal T)의 열린집합들은 완비 헤이팅 대수를 이룬다. 즉, 위상 공간은 직관 논리의 모형으로 여길 수 있다. 또한, 위상 공간은 양상 논리 S4의 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 양상 기호 \Box(필연 기호)는 집합의 내부에, 양상 기호 \Diamond(개연 기호)는 집합의 폐포에 대응한다.

주어진 집합 X 위의 위상들은 섬세성 관계에 따라서 완비 유계 격자를 이룬다. 이 격자의 최대 원소(즉, 가장 섬세한 위상)는 이산 위상이며, 최소 원소(즉, 가장 거친 위상)는 비이산 위상이다.

주어진 집합 X 위의 위상들의 족 \{\mathcal T_i\}_{i\in I}하한(만남)은

\bigwedge_i\mathcal T_i=\bigcap_i\mathcal T_i

이다. 주어진 집합 X 위의 위상들의 족 \{\mathcal T_i\}_{i\in I}상한(이음)은 \bigcup_{i\in I}\mathcal T_i기저로 하는 위상이다.

범주론적 성질[편집]

위상 공간과 연속 함수들은 범주를 이루며, 이 범주를 \operatorname{Top}이라고 한다. 이 경우, 망각 함자

F\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}
F\colon (X,\mathcal T)\mapsto X

를 통해, \operatorname{Top}구체적 범주를 이룬다. 이 망각 함자는 좌·우 수반 함자를 갖는다.

D\dashv F\dashv I

여기서

D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}
D\colon X\mapsto(X,\mathcal P(X))

은 집합을 이산 공간으로 대응시키고,

I\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}
I\colon X\mapsto(X,\{\varnothing,X\})

는 집합을 비이산 공간으로 대응시킨다.

\operatorname{Top}완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 (= 고유 모임 크기가 아닌) 극한쌍대극한이 존재한다. 시작 대상은 (유일한 위상을 갖춘) 공집합 (\varnothing,\{\varnothing\})이며, 끝 대상한원소 공간 (\{\bullet\},\{\varnothing,\{\bullet\}\})이다.

[편집]

집합 {1,2,3} 위의 집합족들 가운데, 처음 네 개는 위상이지만, 붉은색 가위표가 그려진 마지막 두 개는 위상이 아니다.

유한 집합 위의 위상의 경우, 열린집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예들 들어, 집합 X = {1,2,3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다.

그러나 다음은 위상을 이루지 않는다.

  • \{\varnothing,\{1,2,3\},\{2\},\{3\}\}은 {2}와 {3}의 합집합인 {2,3}이 없으므로 위상이 아니다.
  • \{\varnothing,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\}\}은 {1, 2}와 {2, 3}의 교집합인 {2}가 없으므로 위상이 아니다.

좀 더 복잡한 위상 공간의 경우, 다양한 구조로서 위상들을 정의할 수 있다.

  • 전순서가 주어졌을 때, 이를 사용하여 순서 위상을 정의할 수 있다. 실수의 집합의 표준적인 위상은 그 표준적 전순서에 대한 순서 위상이다.
  • 거리 함수가 주어졌을 때, 이를 사용하여 거리 위상을 정의할 수 있다. 실수의 집합이나 복소수의 집합 위에, 두 수의 차의 절댓값은 거리 함수이며, 이에 대한 거리 위상은 실수·복소수 집합의 표준 위상이다.
  • 어떤 집합을 곱집합 \textstyle\prod_iS_i로 나타내었을 때, 각 S_i에 위상을 정의하면 곱집합 전체에 곱위상이라는 위상을 줄 수 있다.
  • 어떤 집합 위에, 열린집합으로 삼고 싶은 집합족 \mathcal S가 존재한다면, 이들을 포함하는 가장 거친 위상을 줄 수 있다. 이러한 집합족을 부분 기저라고 한다.
  • 어떤 집합 S를 다른 집합의 부분 집합 \iota\colon S\hookrightarrow T으로 나타내었을 때, T에 위상이 존재한다면 이로부터 S 위에 부분공간 위상을 정의할 수 있다.
  • 아무런 구조 없는 집합 S 위에도 여러 위상을 줄 수 있다.

관련 개념[편집]

특별한 위상 공간[편집]

위상 공간의 개념은 매우 일반적이며, 대부분의 경우 특정한 성질을 만족시키는 위상 공간들을 고려한다. 대표적인 것들은 다음과 같다.

분리성 가산성 연결성 콤팩트성 기타 성질

추가 구조[편집]

위상 공간은 근방의 개념 밖에는 다른 정보를 추가적으로 담고 있지 않다. 이에 대하여 여러 다른 정보를 추가하여, 다음과 같은 구조들을 정의할 수 있다.

일반화[편집]

위상 공간의 개념은 매우 일반적인 개념이지만, 대수기하학에서는 이보다 더 일반적인 개념을 필요로 할 때가 있다. 이 경우, 열린집합들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합범주로 추상화하여, 덮개의 개념을 공리화할 수 있는데, 이렇게 하면 범주 위의 그로텐디크 위상의 개념을 얻는다. 또한, 이를 한 단계 더 추상화하여, 공간의 열린집합들 대신 공간 위의 모든 들의 범주의 성질을 공리화하면 토포스의 개념을 얻는다.

범주론 대신, 위상 공간의 열린집합들의 격자론적 성질(완비 헤이팅 대수)을 공리화하면 장소(영어: locale)라는 개념을 얻는다.

역사[편집]

1910년대 이전까지는 위상 공간의 개념이 따로 존재하지 않았고, 열린집합거리 공간에 대해서만 정의되었다. 1908년에 리스 프리제시는 거리 함수를 사용하지 않고, 수열의 극한을 사용하여 위상 공간의 개념을 공리화하였고,[1] 1914년에 펠릭스 하우스도르프근방의 개념을 사용하여 이를 재정의하였다.[2] 하우스도르프의 정의에는 오늘날 하우스도르프 공간의 정의에 들어가는 조건이 추가되었는데, 이는 이후 정의에서 제거되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Riesz, F. (1909). 〈Stetigkeitsbegriff und abstrakt Mengenlehre〉. 《Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908)》 (독일어). Accademia Nazionale dei Lincei. 
  2. Hausdorff, F. (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre》 (독일어). 라이프치히: von Veit. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]