전단사 함수: 두 판 사이의 차이
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두 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''전단사 함수'''라고 한다. |
두 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''전단사 함수'''라고 한다. |
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* 임의의 <math> |
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>f(x)=y</math>인 <math>y</math>가 유일하게 존재한다. |
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* [[전사 함수]]이며 [[단사 함수]]이다. |
* [[전사 함수]]이며 [[단사 함수]]이다. |
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* 집합의 범주에서의 [[동형 사상]]이다. 즉, <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>, <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>인 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다. 이러한 <math>g</math>를 <math>f</math>의 '''[[역함수]]'''라고 한다. |
* 집합의 범주에서의 [[동형 사상]]이다. 즉, <math>f\circ g=\operatorname{id}_Y</math>, <math>g\circ f=\operatorname{id}_X</math>인 함수 <math>g\colon Y\to X</math>가 존재한다. 이러한 <math>g</math>를 <math>f</math>의 '''[[역함수]]'''라고 한다. |
2019년 3월 18일 (월) 18:03 판
수학에서, 전단사 함수(全單射函數, 영어: bijection, bijective function)는 두 집합 사이를 중복 없이 모두 일대일로 대응시키는 함수이다. 일대일 대응이라고도 한다.
정의
두 집합 , 사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전단사 함수라고 한다.
성질
두 집합 와 사이에 전단사 함수가 존재한다면, 의 집합의 크기와 의 집합의 크기는 같다.
크기가 같은 두 유한 집합 , 사이의 함수 가 단사 함수이거나 전사 함수라면, 항상 전단사 함수이다. 그러나 이는 무한 집합에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, , 은 단사 함수이지만 전사 함수가 아니다.)
집합 위의 전단사 함수 들의 집합은 대칭군 라는 군을 이루며, 이는 집합의 범주에서의 자기 동형군이다.
유한 집합 위에서, 집합 로 가는 전단사 함수의 수는 다음과 같다.
외부 링크
- “Bijection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Bijection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.