전사 함수

전사 함수의 예

수학에서, 전사 함수(全射函數, 영어: surjection, surjective function)는 공역과 치역이 같은 함수이다.

정의

두 집합 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전사 함수라고 한다.

• 임의의 $y\in Y$에 대하여, $f(x)=y$인 $x\in X$가 존재한다.
• 공역과 치역이 같다. 즉, $Y=f(X)$이다.
• $f$는 집합의 범주에서의 전사 사상이다. 즉, 임의의 집합 $Z$ 및 함수 $g_{1},g_{2}\colon Y\to Z$에 대하여, 만약 $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$라면 $g_{1}=g_{2}$이다.
• $f$는 집합의 범주에서의 분할 전사 사상이다. 즉, $f\circ g$가 $Y$ 위의 항등 함수를 이루는 함수 $g\colon Y\to X$가 존재한다. (이는 선택 공리를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)

성질

전사 함수와 전사 함수의 합성은 전사 함수이다. 반대로, $g\circ f$가 전사 함수이면, $g$도 전사 함수이다. 하지만 $f$가 전사 함수일 필요는 없다.

예

정의역과 공역이 둘 다 실수 집합 $\mathbb {R}$인 함수

$\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$x\mapsto x^{2}$

는 전사 함수가 아닌데, $x^{2}=-1$인 실수 $x$가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 만약 공역이 $\mathbb {R}$ 대신, 음이 아닌 실수의 집합 $[0,\infty )$이라면, 함수

$\mathbb {R} \to [0,\infty )$

$x\mapsto x^{2}$

는 전사 함수이다.

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Surjection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Surjection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 단사 함수
• 전단사 함수