추이적 집합

집합론에서 추이적 집합(推移的集合, 영어: transitive set)은 원소의 원소를 원소로 하는 집합이다.

정의

집합 $X$에 대하여 다음 조건들이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 추이적 집합이라고 한다.

• 임의의 $B\in A\in X$에 대하여, $B\in X$
• 임의의 $A\in X$에 대하여, $A\subseteq X$
• $\bigcup X\subseteq X$
• $X\subseteq {\mathcal {P}}(X)$

마찬가지로, 추이적 모임(영어: transitive class)을 정의할 수 있다.

집합 $X$의 추이적 폐포(영어: transitive closure)는 $X$를 포함하는 가장 작은 추이적 집합이다. 즉, 다음과 같다.

$\bigcup _{n=0}^{\infty }\operatorname {\overbrace {\bigcup \cdots \bigcup } ^{\mathit {n}}} X=X\cup \bigcup X\cup \bigcup \bigcup X\cup \cdots$

초추이적 집합

집합 $X$에 대하여 다음 두 조건이 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 초추이적 집합(영어: supertransitive set)이라고 한다.

• 임의의 $A\in X$에 대하여, 만약 $B\subseteq A$ 또는 $B\in A$라면, $B\in X$
• 임의의 $A\in X$에 대하여, $A\cup {\mathcal {P}}(A)\subseteq X$

초추이적 집합은 추이적 집합이다.

보다 일반적으로, 순서수 $\alpha$에 대하여, 다음과 같은 누적 위계

${\mathcal {P}}^{\alpha }(X)={\begin{cases}{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}^{\beta }(X))&\exists \beta \colon \beta +1=\alpha \\X\cup \bigcup _{\gamma <\alpha }{\mathcal {P}}^{\gamma }(X)&\nexists \beta \colon \beta +1=\alpha \end{cases}}$

를 생각하자. 이 경우, 다음 조건을 만족시키는 집합을 $\alpha$-초추이적 집합(영어: $\alpha$-supertransitive set)이라고 한다.

• 임의의 $A\in X$ 및 순서수 $\beta <\alpha$에 대하여, ${\mathcal {P}}^{\beta }(A)\subseteq X$

즉, 모든 집합은 0-초추이적 집합이며, 1-초추이적 집합은 추이적 집합이며, 2-초추이적 집합은 초추이적 집합이다.

집합 $X$의 $\alpha$-초추이적 폐포는 $X$를 포함하는 가장 작은 $\alpha$-초추이적 집합이며, 다음과 같다.

$X\cup Q(X)\cup Q(Q(X))\cup \cdots$

$Q(X)=\bigcup _{A\in X}\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}^{\beta }(A)$

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 추이적 집합 $X$에 대하여, $\bigcup X$와 $X\cup \{X\}$ 역시 추이적 집합이다.

임의의 추이적 집합들의 족 ${\mathcal {X}}$에 대하여, $\bigcup {\mathcal {X}}$와 $\bigcap {\mathcal {X}}$ 역시 추이적 집합이다.

자명하지 않은 동형의 부재

추이적 모임과 원소 관계로 이루어진 구조 사이의 동형 사상은 항등 함수밖에 없다. 즉, 추이적 모임 사이의 전단사 함수 $f\colon X\to Y$가

$A\in B\in X\iff f(A)\in f(B)\in Y$

를 만족시킨다면, $X=Y$이며, $f=\operatorname {id} _{X}$이다.^{:67, Theorem 6.7} 이는 정칙성 공리를 사용하여 보일 수 있다. 특히, 폰 노이만 전체는 자명하지 않은 자기 동형 사상을 갖지 않는다.

증명:

임의의 $A\in X$에 대하여, $f(A)=A$를 보이는 것으로 충분하다. 정칙성 공리에 의하여, 모든 모임이 정초 모임임을 보일 수 있으며, 따라서 $(X,\in )$ 위에서 초한 귀납법을 사용할 수 있다. 이제, 임의의 $B\in A$에 대하여 $f(B)=B$라고 가정하자. 다음 두 가지를 보이면 족하다.

• $A\subseteq f(A)$
  • 임의의 $B\in A$에 대하여, $B=f(B)\in f(A)$이다.
• $f(A)\subseteq A$
  • 임의의 $f(B)\in f(A)$에 대하여, $B\in A$이므로, $f(B)=B\in A$이다.

예

순서수의 폰 노이만 정의에 따르면, 순서수는 추이적 집합만을 원소로 하는 추이적 집합이다.

폰 노이만 전체의 정의에서, 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 $V_{\alpha }$는 추이적 집합이다. 폰 노이만 전체 $V$는 추이적 고유 모임이다.

구성 가능 전체의 정의에서, 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 $L_{\alpha }$는 추이적 집합이다. 구성 가능 전체 $L$은 추이적 고유 모임이다.

응용

추이적 집합 · 모임은 모형 이론에서 집합론의 모형을 정의하기 위하여 쓰인다. 모스토프스키 붕괴 보조정리에 의하여, "괜찮은" 모형은 항상 추이적 모형으로 나타낼 수 있다.

외부 링크

• “Definition: transitive class”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: supertransitive”. 《ProofWiki》 (영어).