삼각치환적분

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

삼각 치환 적분(三角置換積分, 영어: trigonometric substitution)은 적분법 중 하나로, 변수를 직접 적분하기 어려울 때 삼각함수의 성질을 이용하기 위해 변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.

배경 원리[편집]

삼각함수를 기하학적으로 정의했을 때, 각 함수의 함수값은 단위원 위의 어느 한 의 x좌표, y좌표와 반지름 세 값의 비율과 같다. 함수가 단위원 위에 있으므로 피타고라스 정리를 이용하면

와 같은 성질이 성립한다. 이러한 성질을 이용하여 원래의 변수를 적절한 삼각함수로 치환하면 식이 매우 간단해지는 경우가 있다. 주로 의 형태가 들어있는 함수의 경우 로 치환하며 꼴에는 꼴 등으로 치환하는 식이다.

정적분도 같은방법으로 하면 되는데, 이때는 적분구간에 주의해야 한다.

[편집]

이 들어간 식을 적분할 때[편집]

를 구할때,

또는

로 치환하면

또는

삼각함수 항등식에 의하여

또는

이 들어간 식을 적분할 때[편집]

를 구할때,

로 치환하면,

이므로,

가 된다.

같이 보기[편집]