모임 (집합론): 두 판 사이의 차이

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2015년 1월 5일 (월) 07:19 판

집합론에서, 모임(영어: class 클래스^[*])은 특정한 성질을 만족하는집합(혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것이다. 모임은 지나치게 커서 집합이 아닐 수 있으며, 이렇게 집합이 아닌 모임을 고유 모임(固有모임, 영어: proper class)이라고 한다.

정의

체르멜로-프렝켈 집합론에서의 정의

모임의 정의는 표준적인 집합론(체르멜로-프렝켈 집합론의 확장)에서는 형식적으로 다룰 수 없고, 비형식적으로만 다루어진다. 이 경우, "모임"은 어떤 1변수 술어 $\phi (x)$ 와 동의이다. 술어 $\phi$ 에 대응하는 모임은 보통

\{x\colon \phi (x)\}

로 쓰며,

\phi (x){\stackrel {\text{def}}{\iff }}x\in \{y\colon \phi (y)\}

이다. 술어 $\phi (x)$ 에 대하여, 만약

\phi (x)\iff x\in S

인 집합 $S$ 가 존재한다면, 모임 $\{x\colon \phi (x)\}$ 를 집합 $S$ 로 간주한다. 이렇게 집합으로 간주할 수 없는 모임을 고유 모임이라고 한다.

두 술어 $\phi ,\chi$ 에 대하여, 만약 $\phi (x)$ 가 $\chi (x)$ 를 함의한다면, $\{x\colon \phi (x)\}$ 가 $\{x\colon \chi (x)\}$ 의 부분 모임(영어: subclass)이라고 한다.

\left(\forall x\colon \phi (x)\implies \chi (x)\right){\stackrel {\text{def}}{\iff }}\{x\colon \phi (x)\}\subset \{x\colon \chi (x)\}

마찬가지로, 두 모임의 합모임·교모임·차모임 등을 정의할 수 있다.

모임 이론에서의 정의

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 이론 등에서는 다루는 대상이 기본적으로 집합이 아니라 모임이다. 이 경우, 이론에서 다루는 모든 대상은 모임이며, 모임 $X$ 가운데 이를 원소로 포함하는 다른 모임이 있을 경우 집합이라고 한다.

\operatorname {Set} (X)\iff \exists Y\colon X\in Y

집합이 아닌 모임은 고유 모임이라고 한다.

기타 집합론에서의 정의

새 기초(영어: New Foundations)와 같은 이론의 경우에도 집합이 아닌 모임이 존재하나, 이 경우 집합은 고유 모임인 부분 모임을 가질 수 있다.

성질

체르멜로-프렝켈 집합론이나 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론, 모스-켈리 이론 등에서는 다음이 성립한다. (이들 가운데 일부는 새 기초 등에서 성립하지 않는다.) 모임 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.

$X$ 는 집합이다.
$X$ 의 모든 부분 모임은 집합이다.
$X$ 를 원소로 하는 모임이 존재한다.
$X$ 를 원소로 하는 집합이 존재한다.
$X$ 를 원소로 하는 고유 모임이 존재한다.
$X$ 와 일대일 대응을 갖지 않는 고유 모임이 존재한다.
$X$ 은 임의의 고유 모임에 대하여 일대일 대응을 갖지 않는다.

예

모든 집합은 모임이다. 고유 모임의 예로는 다음을 들 수 있다. 이들 가운데 여럿의 경우, 이들이 집합이 아니라는 정리는 역설로 불린다. 이는 집합론의 초기에는 집합과 고유 모임의 차이가 명확하지 않았기 때문에 이들이 모순적으로 여겨졌기 때문이다.

모든 집합의 모임 $V=\{x\colon x=x\}$ . (폰 노이만 전체)
모든 기수의 모임 $\operatorname {Card}$ . 이는 칸토어 역설에 따라 고유 모임이다.
모든 순서수의 모임 $\operatorname {Ord}$ . 이는 부랄리포르티 역설에 따라 고유 모임이다.
스스로를 원소로 갖지 않는 집합의 모임 $\{x\colon x\in x\}$ . 이는 러설의 역설에 따라 고유 모임이다. 사실, 정칙성 공리(영어: aximo of regularity)에 따라 이는 전체 모임 $V$ 와 같다.
모든 군들의 모임, 모든 환들의 모임, 모든 위상공간들의 모임 따위 역시 고유 모임이다. 이러한 고유 모임들은 범주론에서 자주 다루게 된다.

바깥 고리

“Class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Set class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Proper class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Proper class”.

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-[[수학]]의 [[집합론]] 및 이를 기초로 하는 여러 분야에서, '''모임'''(class)은 특정한 성질을 만족하는 [[집합]](혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것을 말한다. 모임 중에서는 집합인 것도 있고 집합이 아닌 것도 있는데, 전자의 예로는 [[자연수]] 집합의 모든 [[부분집합]]들의 모임이 있고, 후자의 예로는 모든 [[순서수]]들의 모임이나 모든 [[집합]]들의 모임이 있다. 이와 같이 집합이 아닌 모임을 '''고유모임'''({{llang|en|proper class}})이라고 한다.
+[[집합론]]에서, '''모임'''({{llang|en|class|클래스}})은 특정한 성질을 만족하는[[집합]](혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것이다. 모임은 지나치게 커서 [[집합]]이 아닐 수 있으며, 이렇게 집합이 아닌 모임을 '''고유 모임'''(固有모임, {{llang|en|proper class}})이라고 한다.
+== 정의 ==
-[[범주 (수학)|범주]]를 비롯한 수학의 많은 대상들은 집합이 되기에는 지나치게 커서, 모임을 이용해 나타낼 수밖에 없다. 어떤 대상이 고유모임임을 보이기 위해 자주 사용되는 방법으로, 그 대상에 적어도 순서수 만큼이나 많은 원소를 갖고 있음을 보이는 방법이 있다.
+=== 체르멜로-프렝켈 집합론에서의 정의 ===
+'''모임'''의 정의는 표준적인 [[집합론]]([[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 확장)에서는 형식적으로 다룰 수 없고, 비형식적으로만 다루어진다. 이 경우, "모임"은 어떤 1변수 술어 <math>\phi(x)</math>와 동의이다. 술어 <math>\phi</math>에 대응하는 모임은 보통
+:<math>\{x\colon\phi(x)\}</math>
+로 쓰며,
+:<math>\phi(x)\stackrel{\text{def}}\iff x\in\{y\colon\phi(y)\}</math>
+이다. 술어 <math>\phi(x)</math>에 대하여, 만약
+:<math>\phi(x)\iff x\in S</math>
+인 집합 <math>S</math>가 존재한다면, 모임 <math>\{x\colon\phi(x)\}</math>를 집합 <math>S</math>로 간주한다. 이렇게 집합으로 간주할 수 없는 모임을 '''고유 모임'''이라고 한다.
+두 술어 <math>\phi,\chi</math>에 대하여, 만약 <math>\phi(x)</math>가 <math>\chi(x)</math>를 [[함의]]한다면, <math>\{x\colon\phi(x)\}</math>가 <math>\{x\colon\chi(x)\}</math>의 '''부분 모임'''({{llang|en|subclass}})이라고 한다.
-고유모임은 집합이나 모임의 원소가 될 수 없으며, [[체르멜로-프렝켈 집합론]]의 적용 대상이 아니다. 따라서, [[소박한 집합론]]의 여러 역설은 더이상 발생하지 않는다. 그 대신 이 역설들은 특정한 모임이 고유모임이라는 증명이 된다. 예를 들어,
+:<math>\left(\forall x\colon\phi(x)\implies\chi(x)\right)\stackrel{\text{def}}\iff\{x\colon\phi(x)\}\subset\{x\colon\chi(x)\}</math>
-* [[러셀의 역설]]은 자기 자신을 포함하지 않는 모든 집합들의 모임이 고유모임임을 증명한다.
+마찬가지로, 두 모임의 합모임·교모임·차모임 등을 정의할 수 있다.
-* [[칸토어 역설]]은 모든 [[기수 (수학)|기수]]의 모임이 고유모임임을 증명한다.
-* [[부랄리포르티 역설]]은 모든 [[순서수]]의 모임이 고유모임임을 증명한다.
+=== 모임 이론에서의 정의 ===
+[[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]]이나 [[모스-켈리 이론]] 등에서는 다루는 대상이 기본적으로 집합이 아니라 모임이다. 이 경우, 이론에서 다루는 모든 대상은 모임이며, 모임 <math>X</math> 가운데 이를 원소로 포함하는 다른 모임이 있을 경우 '''집합'''이라고 한다.
+:<math>\operatorname{Set}(X)\iff\exists Y\colon X\in Y</math>
+집합이 아닌 모임은 '''고유 모임'''이라고 한다.
+=== 기타 집합론에서의 정의 ===
+[[새 기초]]({{llang|en|New Foundations}})와 같은 이론의 경우에도 집합이 아닌 모임이 존재하나, 이 경우 집합은 고유 모임인 부분 모임을 가질 수 있다.
+== 성질 ==
+[[체르멜로-프렝켈 집합론]]이나 [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론]], [[모스-켈리 이론]] 등에서는 다음이 성립한다. (이들 가운데 일부는 [[새 기초]] 등에서 성립하지 않는다.) 모임 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 [[동치]]이다.
+* <math>X</math>는 [[집합]]이다.
+* <math>X</math>의 모든 부분 모임은 [[집합]]이다.
+* <math>X</math>를 원소로 하는 모임이 존재한다.
+* <math>X</math>를 원소로 하는 [[집합]]이 존재한다.
+* <math>X</math>를 원소로 하는 고유 모임이 존재한다.
+* <math>X</math>와 [[일대일 대응]]을 갖지 않는 [[고유 모임]]이 존재한다.
+* <math>X</math>은 임의의 [[고유 모임]]에 대하여 일대일 대응을 갖지 않는다.
+== 예 ==
+모든 [[집합]]은 모임이다. 고유 모임의 예로는 다음을 들 수 있다. 이들 가운데 여럿의 경우, 이들이 집합이 아니라는 정리는 [[역설]]로 불린다. 이는 [[집합론]]의 초기에는 집합과 고유 모임의 차이가 명확하지 않았기 때문에 이들이 모순적으로 여겨졌기 때문이다.
+* 모든 집합의 모임 <math>V=\{x\colon x=x\}</math>. ([[폰 노이만 전체]])
+* 모든 기수의 모임 <math>\operatorname{Card}</math>. 이는 [[칸토어 역설]]에 따라 고유 모임이다.
+* 모든 [[순서수]]의 모임 <math>\operatorname{Ord}</math>. 이는 [[부랄리포르티 역설]]에 따라 고유 모임이다.
+* 스스로를 원소로 갖지 않는 집합의 모임 <math>\{x\colon x\in x\}</math>. 이는 [[러설의 역설]]에 따라 고유 모임이다. 사실, 정칙성 공리({{llang|en|aximo of regularity}})에 따라 이는 전체 모임 <math>V</math>와 같다.
+* 모든 [[군 (수학)|군]]들의 모임, 모든 [[환 (수학)|환]]들의 모임, 모든 [[위상공간 (수학)|위상공간]]들의 모임 따위 역시 고유 모임이다. 이러한 고유 모임들은 [[범주론]]에서 자주 다루게 된다.
 == 바깥 고리 ==

v t e 집합론
집합	원소 공집합 한원소 집합 부분집합 교집합 합집합 여집합 대칭차 멱집합 멱집합 공리 곱집합 순서쌍 유한 집합 무한 집합 무한 공리 가산 집합 드 모르간의 법칙
함수	정의역 공역 치역 상 전사 함수 단사 함수 전단사 함수 다가 함수 역함수 항등 함수 상수 함수 지시 함수 함수의 합성
기수	집합의 크기 칸토어의 정리 대각선 논법 알레프 수 베트 수 극한 기수 기멜 함수 가능 공종도
순서수	정렬 순서 초한귀납법 공종도 쾨니그의 정리 하르톡스 수 정규 함수
역설의 해소	소박한 집합론 러셀의 역설 칸토어 역설 부랄리포르티 역설 모임 유형 이론 《수학 원리》 체르멜로-프렝켈 집합론 새 기초 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 모스-켈리 집합론
선택 공리	가산 선택 공리 의존적 선택 공리 초른 보조정리 슈필라인 확장정리 바나흐-타르스키 역설 티호노프 정리
집합론의 모형	구성 가능 전체 추이적 집합 추이적 모형 순서수 정의 가능 집합 강제법
큰 기수	도달 불가능한 기수 가측 기수 약콤팩트 기수 강콤팩트 기수 초콤팩트 기수
ZF와 독립된 명제	연속체 가설 특이 기수 가설 수슬린 가설 화이트헤드 문제 결정 공리 마틴 공리 다이아몬드 원리