함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>의 <math>n=2</math>인 [[테일러 급수]]는 헤세 행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.
함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>의 <math>n=2</math>인 [[테일러 급수]]는 헤세 행렬을 이용해서 나타낼 수 있다.
:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +J\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.)
:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f:= f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) \approx J\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+\frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.)
만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점 (수학)|임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.
만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점 (수학)|임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>\Delta f \approx \frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세 행렬이 되는 셈이다.
미적분학에서, 헤세 행렬(Hesse行列, 영어: Hessian matrix)은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 헤세 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤세 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.