상 (수학)

수학에서 상(像, 영어: image)은 어떤 함수에 대한 정의역의 원소(들)에 대응하는 공역의 원소(들)이다. 반대로, 원상(原像, 영어: preimage) 또는 역상(逆像, 영어: inverse image)은 어떤 함수에 대한 공역의 원소(들)에 대응하는 정의역의 원소(들)이다.

정의

정의역이 $X$, 공역이 $Y$인 함수 $f\colon X\to Y$를 생각하자. 정의역의 원소 $x\in X$의, 함수 $f$에 대한 상은 공역의 원소 $f(x)\in Y$이다. 정의역의 부분 집합 $A\subseteq X$의, 함수 $f$에 대한 상은 공역의 부분 집합

$f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y$

이다.

공역의 원소 $y\in Y$의, 함수 $f$에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

$f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X$

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자. 공역의 부분 집합 $B\subseteq Y$의, 함수 $f$에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

$f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X$

이다.

정의역의 상을 치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.

상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.

상	원상
$f(A)$	$f^{-1}(B)$
$f[A]$	$f^{-1}[B]$
$f_{*}(A)$	$f^{*}(B)$
$f^{\rightarrow }(A)$	$f^{\leftarrow }(B)$

성질

합성

임의의 함수 $f\colon X\to Y$ 및 $g\colon Y\to Z$에 대하여, 그 합성 $g\circ f\colon X\to Z$의 상과 원상은 다음과 같다.

$(g\circ f)(A)=g(f(A))\qquad (A\subseteq X)$

$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\qquad (C\subseteq Z)$

즉, 상은 함자

$\operatorname {Set} \to \operatorname {Set}$

$X\to {\mathcal {P}}(X)$

$(f\colon X\to Y)\mapsto (f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y))$

를 정의하며, 원상은 함자

$\operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

$X\to {\mathcal {P}}(X)$

$(f\colon X\to Y)\mapsto (f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X))$

를 정의한다.

단조성

임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 $A\subseteq A'\subseteq X$라면, $f(A)\subseteq f(A')$
• 만약 $B\subseteq B'\subseteq Y$라면, $f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')$

즉, 임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여,

$f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$

$f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$

는 (범주로 본) 멱집합 격자 사이의 두 함자를 이룬다.

상과 원상 사이의 관계

임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• 임의의 $A\subseteq X$에 대하여,
  • $f^{-1}(f(A))\supseteq A$
  • 만약 $f$가 단사 함수라면, $f^{-1}(f(A))=A$
• 임의의 $B\subseteq X$에 대하여,
  • $f(f^{-1}(B))\subseteq B$
  • 만약 $f$가 전사 함수라면, $f(f^{-1}(B))=B$
• 임의의 $A\subseteq X$ 및 $B\subseteq Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • $f(A)\subseteq B$
  • $A\subseteq f^{-1}(B)$

이에 따라, 임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, $f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$와 $f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$는 서로 수반 함자이다.

$f\dashv f^{-1}$

기타 성질

그 밖에도, 임의의 함수 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• 정의역 속의 집합족 $(A_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여,

  $f{\biggl (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\biggr )}=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})$

  $f{\biggl (}\bigcap _{i\in I}A_{i}{\biggr )}\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$

• 공역 속 집합족 $(B_{j})_{j\in J}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)$에 대하여,

  $f^{-1}{\biggl (}\bigcup _{j\in J}B_{j}{\biggr )}=\bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)$

  $f^{-1}{\biggl (}\bigcap _{j\in J}B_{j}{\biggr )}=\bigcap _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)$

• 정의역의 두 부분 집합 $A,A'\subseteq X$에 대하여,

  $f(A\setminus A')\supseteq f(A)\setminus f(A')$

• 공역의 두 부분 집합 $B,B'\subseteq Y$에 대하여,

  $f^{-1}(B\setminus B')=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(B')$

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Image”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pre-image”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Direct image”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Inverse image”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition: image”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: preimage”. 《ProofWiki》 (영어).