교대급수 판정법: 두 판 사이의 차이

내용 삭제됨 내용 추가됨

인라인

2017년 1월 23일 (월) 04:25 판

교대급수판정법(交代級數判定法, alternating series test)은 교대급수

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots

( $a n$ 은 항상 $\geq 0$ 또는 항상 $\leq 0$ )에 대한 수렴판정법으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. 고트프리트 라이프니츠가 제시하여 라이프니츠 판정법(Leibniz's test)이라고도 불린다.

서술

만약 교대급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ 에서 $a n$ 이 단조감소하고 $\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ 이면, 그 교대급수는 수렴한다.

또한, 급수의 합 $S$ 는 부분합 $S N$ 에 의해 $a N + 1$ 이내의 절단오차로 근사된다.

|S_{N}-S|\leq a_{N+1}

^[1]

증명

$S 2 m + 1$ 과 $S 2 m$ 은 각각 증가, 감소한다.

S_{N+2}-S_{N}=(-1)^{N+1}(a_{N+1}-a_{N+2})

$a N$ 이 감소하며 0으로 수렴하므로,

S_{2m+1}=S_{2m}-a_{2m+1}\leq S_{2m}

또한

0=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=\lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})

따라서 이들을 종합하면, 단조수렴정리에 의해 $S 2 m + 1$ 과 $S 2 m$ 모두 같은 값 $S$ 로 수렴한다. 또한 다음이 성립한다.

S_{1}\leq S_{3}\leq S_{5}\leq \cdots \leq S\leq \cdots \leq S_{4}\leq S_{2}\leq S_{0}

부분합 근사의 오차는 $N$ 이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다.

|S_{2m}-S|=S_{2m}-S\leq S_{2m}-S_{2m+1}=a_{2m+1}

|S_{2m+1}-S|=S-S_{2m+1}\leq S_{2m+2}-S_{2m+1}=a_{2m+2}

같이 보기

디리클레 판정법

각주

↑ 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 183쪽. ISBN 978-8-96-105054-8.

참고 문헌

김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8.

[김락중-1] 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. 183쪽. ISBN 978-8-96-105054-8.

[1]

@@ 5번째 줄: / 5번째 줄: @@
 :<math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n = a_0 - a_1 + a_2 - \cdots</math>
-({{수변|a<sub>n</sub>}}은 항상 {{수학|≥ 0}} 또는 항상 {{수학|≤ 0}})에 대한 [[수렴판정법]]으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. [[고트프리트 라이프니츠]]가 제시하여 '''라이프니츠 판정법'''({{lang|en|Leibniz's test}})이라고도 불린다.
+({{mvar|a<sub>n</sub>}}은 항상 {{수학|≥ 0}} 또는 항상 {{수학|≤ 0}})에 대한 [[수렴판정법]]으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. [[고트프리트 라이프니츠]]가 제시하여 '''라이프니츠 판정법'''({{lang|en|Leibniz's test}})이라고도 불린다.
 == 서술 ==
-만약 교대급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n</math>에서 {{수변|a<sub>n</sub>}}이 [[단조감소]]하고 <math>\textstyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0</math>이면, 그 교대급수는 수렴한다.
+만약 교대급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n</math>에서 {{mvar|a<sub>n</sub>}}이 [[단조감소]]하고 <math>\textstyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0</math>이면, 그 교대급수는 수렴한다.
-또한, 급수의 합 {{수변|S}}는 부분합 {{수변|S<sub>N</sub>}}에 의해 {{수학|''a''<sub>''N'' + 1</sub>}} 이내의 절단오차로 근사된다.
+또한, 급수의 합 {{mvar|S}}는 부분합 {{mvar|S<sub>N</sub>}}에 의해 {{수학|''a''<sub>''N'' + 1</sub>}} 이내의 절단오차로 근사된다.
 :<math>|S_N - S| \le a_{N+1}</math> <ref name="김락중">{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|장=|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=183|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref>
@@ 19번째 줄: / 19번째 줄: @@
 :<math>S_{N+2} - S_N = (-1)^{N+1}(a_{N+1} - a_{N+2})</math>
-{{수변|a<sub>N</sub>}}이 감소하며 0으로 수렴하므로,
+{{mvar|a<sub>N</sub>}}이 감소하며 0으로 수렴하므로,
 :<math>S_{2m+1} = S_{2m} - a_{2m+1} \le S_{2m}</math>
@@ 27번째 줄: / 27번째 줄: @@
 :<math>0 = \lim_{m\to\infty} a_{2m+1} = \lim_{m\to\infty} (S_{2m+1} - S_{2m})</math>
-따라서 이들을 종합하면, [[단조수렴정리]]에 의해 {{수학|''S''<sub>2''m'' + 1</sub>}}과 {{수학|''S''<sub>2''m''</sub>}} 모두 같은 값 {{수변|S}}로 수렴한다. 또한 다음이 성립한다.
+따라서 이들을 종합하면, [[단조수렴정리]]에 의해 {{수학|''S''<sub>2''m'' + 1</sub>}}과 {{수학|''S''<sub>2''m''</sub>}} 모두 같은 값 {{mvar|S}}로 수렴한다. 또한 다음이 성립한다.
 :<math>S_1 \le S_3 \le S_5 \le \cdots \le S \le \cdots \le S_4 \le S_2 \le S_0</math>
-부분합 근사의 오차는 {{수변|N}}이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다.
+부분합 근사의 오차는 {{mvar|N}}이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다.
 :<math>|S_{2m} - S| = S_{2m} - S \le S_{2m} - S_{2m+1} = a_{2m+1}</math>