교대급수 판정법: 두 판 사이의 차이

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인라인

2016년 4월 3일 (일) 00:27 판

교대급수판정법(交代級數判定法, alternating series test)은 교대급수

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-\cdots

(틀:수변은 항상 $\geq 0$ 또는 항상 $\leq 0$ )에 대한 수렴판정법으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. 고트프리트 라이프니츠가 제시하여 라이프니츠 판정법(Leibniz's test)이라고도 불린다.

만약 교대급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}$ 에서 틀:수변이 단조감소하고 $\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ 이면, 그 교대급수는 수렴한다.

또한, 급수의 합 틀:수변는 부분합 틀:수변에 의해 $a N + 1$ 이내의 절단오차로 근사된다.

|S_{N}-S|\leq a_{N+1}

$S 2 m + 1$ 과 $S 2 m$ 은 각각 증가, 감소한다:

S_{N+2}-S_{N}=(-1)^{N+1}(a_{N+1}-a_{N+2})

모든 틀:수변이 $\geq 0$ 이므로:

S_{2m+1}=S_{2m}-a_{2m+1}\leq S_{2m}

따라서 이들을 종합하여 다음을 얻는다:

S_{1}\leq S_{3}\leq S_{5}\leq \cdots \leq S_{4}\leq S_{2}\leq S_{0}

단조수렴정리에 의해 $S 2 m + 1$ 과 $S 2 m$ 모두 수렴한다. 물론 극한은 같다:

\lim _{m\to \infty }(S_{2m}-S_{2m+1})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0

이에 따라 급수는 $S 2 m + 1$ 의 상한이자 $S 2 m$ 의 하한인 틀:수변로 수렴한다.

절단오차의 상계는 틀:수변이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다:

|S_{2m}-S|=S_{2m}-S\leq S_{2m}-S_{2m+1}=a_{2m+1}

|S_{2m+1}-S|=S-S_{2m+1}\leq S_{2m+2}-S_{2m+1}=a_{2m+2}

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 ({{수변|a<sub>n</sub>}}은 항상 {{수학|≥ 0}} 또는 항상 {{수학|≤ 0}})에 대한 [[수렴판정법]]으로, 단조롭게 0으로 수렴하는 수열에 의한 교대급수는 반드시 수렴한다고 서술한다. [[고트프리트 라이프니츠]]가 제시하여 '''라이프니츠 판정법'''({{lang|en|Leibniz's test}})이라고도 불린다.
-== 서술<ref name="a">김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007, 183쪽.</ref> ==
+== 서술<ref name="김락중">{{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|장=|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|쪽=183|isbn=978-8-96-105054-8}}</ref> ==
 만약 교대급수 <math>\textstyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n</math>에서 {{수변|a<sub>n</sub>}}이 [[단조감소]]하고 <math>\textstyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0</math>이면, 그 교대급수는 수렴한다.
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 == 참고 문헌 ==
-* 김락중 외, 《해석학 입문》, 경문사, 2007.
+* {{서적 인용|저자1=김락중|저자2=박종안|저자3=이춘호|저자4=최규흥|연도=2007|제목=해석학 입문|판=3|출판사=경문사|isbn=978-8-96-105054-8}}
 [[분류:수렴판정법]]