공집합의 기호
수학에서 공집합(空集合, 영어: empty set)은 원소가 하나도 없는 집합이다. 기호는 { } 또는
(∅) 또는
.
기호는 시행 결과로 어떠한 조건에서도 나올 수 없는 사건을 의미하는 공사건의 기호이기도 하다.
공집합
은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle x\neq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39df4cb02d792b90d62a0e502b001434bce719f0)
모든 집합
에 대하여,
- 공집합은
의 부분집합이다.
![{\displaystyle \varnothing \subset A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1511304dfec3dd9327fb89c8cb025400356c31)
- 집합
와 공집합의 합집합은 집합 A이다.
![{\displaystyle A\cup \varnothing =A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc75e355940ce952b6fdcf9146a88bebcb59f23)
- 집합
와 공집합의 교집합은 공집합이다.
![{\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ffa61a78743addd6131fd3be42df3303418352f)
- 집합
와 공집합의 곱집합은 공집합이다.
![{\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af6bd5c759e70f4e7b49acf9ead472939490d1b)
공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.
- 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
![{\displaystyle A\subset \varnothing \Longrightarrow A=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e96e73ebd0f0ed5000eb26b25375ed4237d8a5e)
- 공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
![{\displaystyle 2^{\varnothing }=\{\varnothing \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf4c1862d5ada3d3c6423f4330ddcd9b7193e0f)
- 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 기수가 0이다. 공집합은 유한집합이다.
![{\displaystyle \mathrm {card} (\varnothing )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe49e9efe45e05a2fe1ab8f363b2015998ad618c)
공허하게 참인 명제[편집]
공허하게 참인 명제(空虛-命題, 영어: vacuously true statement)는 공집합에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.
![{\displaystyle \forall x\in \varnothing \colon \phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b41ff9d6d69ccd632adfff0a1c491e58db3f957)
(여기서
는 거짓 명제이다.)
공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 모순 명제이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.
예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.
- 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle x\neq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39df4cb02d792b90d62a0e502b001434bce719f0)
- 만약
라면,
이다.
공집합에 대한 합과 곱[편집]
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Icons8_flat_search.svg/18px-Icons8_flat_search.svg.png)
이 부분의 본문은
합 및
곱입니다.
편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.
![{\displaystyle \sum _{x\in \varnothing }x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f6eb5b410f5b63418d8386850dc8c3f0d432b3)
![{\displaystyle \prod _{x\in \varnothing }x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dceae452c37ac9e0d0a35e7e77d11a8c6d882cd)
예를 들어, 합
![{\displaystyle \sum _{n=p}^{q}a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b529bb30fdadd46cf5bb4f81055c772ce2ae5d14)
을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \sum _{n=p}^{q}a_{n}={\begin{cases}0&p>q\\\displaystyle \sum _{n=p}^{q-1}a_{n}+a_{q}&p\leq q\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce065d326003a59312ef953504a172eb31ebf2b)
영항 연산[편집]
편의를 위해, 집합
의 0번 곱집합
은 임의의 한원소 집합
으로 정의된다. 이 경우, 집합
위의 영항 연산
![{\displaystyle f\colon A^{\times 0}\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb65eb016c1eed90201f23857cddac2b9f29efa)
는
의 원소
![{\displaystyle f(\bullet )\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef1cbe81a46ee4fe7f51c8cf5d805b1327f642d)
와 일대일 대응한다.
집합론[편집]
수, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다.
이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한 공리에서 사용하는 방법이다.
공집합의 기호
는 프랑스의 수학자이며 니콜라 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다. 그리스 문자
를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]