쌍곡 치환

미적분학에서 쌍곡 치환(雙曲置換, 영어: hyperbolic substitution)은 쌍곡선 함수를 이용하는 치환 적분 기법의 하나이다.

정의

쌍곡 치환은 삼각 치환과 마찬가지로 완전 제곱꼴의 이차식이 나오는 함수를 적분하는 데 사용되는 기법이다. 구체적으로, 유리 함수 $R(u,v)$ 및 $a>0$이 주어졌을 때, 쌍곡 치환은 다음과 같다.^{:135, Table 10.1}

적분	삼각 치환	쌍곡 치환
$\int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\sin \theta$	$x=a\tanh t$
$\int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\tan \theta$	$x=a\sinh t$
$\int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\sec \theta$	$x=a\cosh t$

더 자세히는 다음과 같다.

적분	쌍곡 치환				사용된 항등식
$\int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\tanh t$	$-\infty <t<\infty$	${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\operatorname {sech} t$	$\mathrm {d} x=a\operatorname {sech} ^{2}t\mathrm {d} t$	$1-\tanh ^{2}t=\operatorname {sech} ^{2}t$
$\int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\sinh t$	$-\infty <t<\infty$	${\sqrt {x^{2}+a^{2}}}=a\cosh t$	$\mathrm {d} x=a\cosh t\mathrm {d} t$	$1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t$
$\int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})\mathrm {d} x$	$x=a\cosh t$ ($x>a$일 경우)	$0<t<\infty$	${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a\sinh t$	$\mathrm {d} x=a\sinh t\mathrm {d} t$	$\cosh ^{2}t-1=\sinh ^{2}t$

예

다음 예시는 쌍곡 치환 $x=a\cosh t$를 사용한다 ($a>0,\;x>a$).^{:481, Example 5:253, 例6.2.15}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$	$=\int {\frac {a\sinh t\mathrm {d} t}{a\sinh t}}$	( $x=a\cosh t,\;0<t<\infty ,\;{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a\sinh t,\;\mathrm {d} x=a\sinh t\mathrm {d} t$ )
	$=\int \mathrm {d} t$
	$=t+C$
	$=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C$	( $t=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|-\ln a$ )

다음 예시는 쌍곡 치환 $x=a\sinh t$를 사용한다 ($a>0$).^{:253, 例6.2.16:27, 例1}

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$	$=\int {\frac {a\cosh t\mathrm {d} t}{a\cosh t}}$	( $x=a\sinh t,\;-\infty <t<\infty ,\;{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}=a\cosh t,\;\mathrm {d} x=a\cosh t\mathrm {d} t$ )
	$=\int \mathrm {d} t$
	$=t+C$
	$=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|+C$	( $t=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|-\ln a$ )

다음 예시는 쌍곡 치환 $x=\tanh t$를 사용한다.^{:28, 例3}

$\int {\sqrt {1-x^{2}}}\mathrm {d} x$	$=\int {\frac {\mathrm {d} t}{\cosh ^{3}t}}$	( $x=\tanh t,\;-\infty <t<\infty ,\;{\sqrt {1-x^{2}}}=\operatorname {sech} t\mathrm {d} x=\operatorname {sech} ^{2}t\mathrm {d} t$ )
	$=\int {\frac {\cosh t\mathrm {d} t}{\cosh ^{4}t}}$
	$=\int {\frac {\mathrm {d} u}{(u^{2}+1)^{2}}}$	( $u=\sinh t$ )
	$=\int {\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}-\int {\frac {u^{2}}{(u^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} u$
	$=\int {\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}\int u\mathrm {d} {\frac {1}{u^{2}+1}}$
	$=\int {\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}+{\frac {1}{2}}{\frac {u}{u^{2}+1}}-{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}+1}}$
	$={\frac {1}{2}}\arctan u+{\frac {1}{2}}{\frac {u}{u^{2}+1}}+C$
	$={\frac {1}{2}}\arctan {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {1-x^{2}}}+C$	( $\sinh t={\frac {\tanh t}{\sqrt {1-\tanh ^{2}t}}}$ )
	$={\frac {1}{2}}\arcsin x+{\frac {1}{2}}x{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

첫째 및 둘째 예시는 쌍곡 치환이 더 간편하며, 셋째 예시는 삼각 치환이 더 간편하다.

응용

쌍곡 치환은 다음과 같은 꼴의 적분에서도 사용된다.

$\int \cos ^{m}x\sin ^{n}x\mathrm {d} x$

여기서 $m,n$은 정수이며, $m+n$은 음의 홀수이다. 다음과 같은 두 가지 방법이 있다.^:141

적분	쌍곡 치환
${\begin{aligned}\int \cos ^{m}x\sin ^{n}x\mathrm {d} x&=\int \sec ^{-(m+n)}x\tan ^{n}x\mathrm {d} x\\&=\int \cot ^{m}x\csc ^{-(m+n)}x\mathrm {d} x\end{aligned}}$	$\tan x=\sinh t$	$\sec x=\cosh t$ ($-\pi /2<x<\pi /2$일 경우)	$\mathrm {d} x=\operatorname {sech} t\mathrm {d} t$
	$\cot x=\sinh t$	$\csc x=\cosh t$ ($0<x<\pi /2$일 경우)	$\mathrm {d} x=-\operatorname {sech} t\mathrm {d} t$

첫 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.^{:142, Example 1}

${\begin{aligned}\int \sec x\mathrm {d} x&=\int \cosh t\operatorname {sech} t\mathrm {d} t\\&=\int \mathrm {d} t\\&=t+C\\&=\ln(\cosh t+\sinh t)+C\\&=\ln(\sec x+\tan x)+C\end{aligned}}$

두 번째 방법을 사용한 한 가지 예시는 다음과 같다.^{:142, Example 2}

${\begin{aligned}\int \csc ^{3}x\mathrm {d} x&=-\int \cosh ^{3}t\operatorname {sech} t\mathrm {d} t\\&=-\int \cosh ^{2}t\mathrm {d} t\\&=-{\frac {1}{2}}\int (1+\cosh 2t)\mathrm {d} t\\&=-{\frac {1}{2}}t-{\frac {1}{4}}\sinh 2t\\&=-{\frac {1}{2}}\ln(\cosh t+\sinh t)-{\frac {1}{2}}\sinh t\cosh t\\&=-{\frac {1}{2}}\ln(\csc x+\cot x)-{\frac {1}{2}}\cot x\csc x\\&={\frac {1}{2}}\ln(\csc x-\cot x)-{\frac {1}{2}}\cot x\csc x\end{aligned}}$

일부 저서에서는 이를 건서 쌍곡 치환(-雙曲置換, 영어: Gunther's hyperbolic substitutions)이라고 부른다.^{:142, Exercise 11} 이 방법은 찰스 건서(영어: Charles O. Gunther)가 《삼각 및 허수 치환 적분》(영어: Integration by Trigonometric and Imaginary Substitutions)이라는 교재에서 처음 공개하였다.^{:143, Endnote 1}

같이 보기

• 바이어슈트라스 치환#쌍곡선 함수의 경우
• 삼각 치환

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hyperbolic substitution”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.