곱의 법칙 (미적분학)

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미적분학에서, 곱의 법칙(영어: product rule) 또는 곱의 미분법 또는 라이프니츠 법칙(영어: Leibniz rule)은 함수의 곱의 미분을 구하는 공식이다.

정의[편집]

실변수 실숫값 함수의 경우[편집]

만약 두 함수 에서 미분 가능하다면, 역시 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다.

선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다.

만약 함수 에서 미분 가능하다면, 에서의 미분은 다음과 같다.

보다 일반적으로, 만약 계 도함수를 갖는다면, 역시 계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.)

만약 계 도함수를 갖는다면, 계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.)

다변수 벡터값 함수의 경우[편집]

두 함수 에서 변수 에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면 역시 그러하며, 그 에 대한 편미분은 다음과 같다.

증명[편집]

함수 f를 로 정의한다. 이때 도함수의 정의에 따라 구하면,

여기에서 에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

따라서 다음의 결과가 나온다.