등각 장론: 두 판 사이의 차이
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* {{저널 인용|성=Gaitsgory|이름=Dennis|제목=Notes on 2D Conformal Field Theory and String Theory|연도=1998|id={{arxiv|math/9811061}}}} |
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* {{저널 인용|제목=Two-dimensional conformal field theory and beyond. Lessons from a continuing fashion|이름=I.T.|성=Todorov|저널=Bulgarian Journal of Physics|권=27|호=1|연도=2000|id={{arxiv|math-ph/0011014}}}} |
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* {{책 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory| |
* {{책 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|공저자=Erik Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|연도=2009|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]], [[하이델베르크|Heidelberg]]}} |
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* {{책 인용|제목={{lang|en|A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the {{lang|de|Mathematisches Institut der Universität Hamburg}}}}|이름=Martin|성=Schottenloher|isbn= 978-3-540-61753-2|연도=1997|doi=10.1007/978-3-540-70690-8|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]], [[하이델베르크|Heidelberg]]}} |
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* {{책 인용|제목=Conformal Field Theory|저자=Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal|출판사=Springer|위치=New York|연도=1997|isbn=0-387-94785-X|url=http://www.physique.usherbrooke.ca/pages/senechal/cft}} |
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* {{책 인용|제목=Conformal invariance and critical Phenomena|성=Henkel|이름=Malte|isbn=978-3-540-65321-9|연도=1999|출판사=Springer}} |
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* {{책 인용|제목=Conformal invariance: An introduction to loops, interfaces and stochastic Loewner evolution|저자=Malte Henkel, Dragi Karevski|isbn=978-3-642-27933-1|doi=10.1007/978-3-642-27934-8|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]], [[하이델베르크|Heidelberg]]}} |
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* {{책 인용|제목=등각장론|isbn=8937435861|저자=임채호|연도=1995|출판사=민음사|위치=서울|url=http://www.minumsa.com/minumsa/front/CM/book/bookdetail.php?book_idx=17714}} |
* {{책 인용|제목=등각장론|isbn=8937435861|저자=임채호|연도=1995|출판사=민음사|위치=서울|url=http://www.minumsa.com/minumsa/front/CM/book/bookdetail.php?book_idx=17714}} |
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2012년 10월 23일 (화) 12:05 판
양자장론에서, 등각 장론(等角場論, 영어: conformal field theory, 약자 CFT)은 등각 변환에 대해 고전적으로 불변인 장론이다. 임의의 시공간 차원에서 정의할 수 있으나, 2차원의 경우는 특별한 성질을 지닌다.이 경우, 계는 복소평면을 일반화한 리만 곡면에서의 이론으로 기술한다. 응집물질물리학과 끈 이론에서 쓰인다.
전개
등각 다양체
등각장론은 등각 변환에 대하여 불변이다. 시공을 리만 다양체로 생각할 경우,등각변환은 시공에서 계량 텐서를 바일 변환을 제외하고 보존하는 변환이다. 즉 리만 다양체 가 주어진다면, 등각변환 은 를 다음과 같이 변환시킨다.
여기서 는 위의 스칼라장이다. 좀 더 추상적으로, 시공을 리만 다양체가 아니라, 단순히 미분다양체에 바일 변환에 대한 계량 텐서의 동치류가 주어진 구조로 생각할 수 있다. 이를 등각 다양체(等角多樣體, 영어: conformal manifold)라고 한다.
등각 대칭군의 생성자
등각 대칭군의 생성자는 (국소적으로) 다음과 같다. 우선 부호수가 인 차원 유클리드 공간 ()을 생각하자. 만약 인 경우, 등각 대칭군은 을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.
특수 등각 변환은 반전(영어: inversion)과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란
를 말한다. 즉 평행 이동
와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은
의 꼴이다.
2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) 리만 곡면 (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수(영어: Witt algebra), 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.
등각장
등각장론에서의 장 가운데 일부를 준일차장(準一次場, 영어: quasiprimary field)라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
2차원의 경우, 일차장(一次場, 영어: primary field)은 준일차장 가운데 뫼비우스 변환 SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 이차장(二次場, 영어: secondary field)라 부른다.
에너지-운동량 텐서
뇌터 정리 및 워드-다카하시 항등식에 따라, 등각장론의 에너지-운동량 텐서의 대각합은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 비라소로 대수를 얻는다.
2차원 등각 장론의 특성
높은 차원과는 달리, 2차원 등각 장론은 여러 모로 더 단순하며, 그에 따라 높은 차원에서 나타나지 않는 여러 특징을 지닌다.
비라소로 대수
높은 차원에서는 등각군은 유한차원이지만, 2차원의 시공에서는 그 등각군이 무한차원이다. 좀 더 정확하 말하면, SO(2,2) 아래에서의 등각 변환군은 정칙 함수의 등각 사상의 변환군(무한 차원 리 군)으로 확장되고, 이를 생성하는 리 대수는 (무한 차원의) 비라소로 대수다. (유클리드 계량 텐서의 경우) 정칙과 반정칙 비라소로 대수 두 복사본이 존재한다. (로렌츠 계량텐서의 경우 이는 오른쪽 및 왼쪽 모드에 해당한다.) 등각장론의 상태공간(힐베르트 공간)은 (중심 확장을 포함한) 비라소로 대수의 가군을 이룬다. 해밀토니안이 음수의 값을 가질 수 없으므로, 이는 최고 가중 가군(highest-weight module)이어야 한다.
비라소로 대수의 중심 원소 는 등각 대칭의 변칙적 파괴를 나타낸다. 이에 따라, 이면 등각군은 에 의하여 생성되는 뫼비우스 부분군으로 깨진다.
가해성(可解性)
양자장론은 상관 함수로 기술되는데, 2차원 등각 장론에서는 이 상관함수를 비라소로 대수와 워드-다카하시 항등식(영어: Ward-Takahashi identity)을 써서 엄밀하게 구할 수 있다. 이러한 의미에서 2차원 등각 장론은 해를 구할 수 있으며(solvable), 2차원 통계역학 계 또는 1+1차원 양자계를 이해하는 데 있어서 강력한 도구다.
-정리
존 카디(영어: John L. Cardy)는 중심원소 가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 그 뒤 알렉산드르 자몰롯치코프(러시아어: Алекса́ндр Борисович Замолодчиков)는 c가 재규격화군의 흐름을 나타낸다는 사실을 보였다. 즉 결합상수 와 에너지 눈금 에 대하여 함수 를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 지닌다.
- 는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
- 의 재규격화군 부동점 에서는 는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다.
이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 -정리(-theorem)으로 일컫는다.
-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 4차원 -정리는 2011년에 증명되었다.[1][2]
응용
등각장론은 끈 이론에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 등각장론이어야 한다. (초끈의 경우 등각대칭이 초등각대칭(영어: superconformal symmetry)으로 확장되게 된다.) 이 장론의 등각변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, AdS/CFT 대응성에 따르면 특수한 경우 중력은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각장론과 같다. 따라서 양-밀스 이론 등과 같은 등각장론이 중요한 역할을 한다.
등각장론은 최근에 통계역학에서 침투(percolation) 현상을 다루는 데 응용되고 있다.[3][4]
역사
등각 장론은 1984년에 알렉산드르 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프(러시아어: Алекса́ндр Бори́сович Замоло́дчиков)가 제창하였다.[5]
참고 문헌
- ↑ Z. Komargodski, A. Schwimmer (2011). “On renormalization group flows in four dimensions”. 《Journal of High Energy Physics》 2011 (12): 99. doi:10.1007/JHEP12(2011)099.
- ↑ Reich, Eugenie Samuel (2011년 11월 14일). “Proof found for unifying quantum principle”. 《Nature》. doi:10.1038/nature.2011.9352.
- ↑ Cardy, John (2001). “Conformal Invariance and Percolation”. arXiv:math-ph/0103018.
- ↑ Cardy, John (2008). “Conformal Field Theory and Statistical Mechanics”. arXiv:0807.3472.
- ↑ Belavin AA, Polyakov AM, Zamolodchikov AB. “Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory”. 《Nucl. Phys. B》 241 (2): 333–80. doi:10.1016/0550-3213(84)90052-X.
- Gaberdiel, Matthias R. (2000). “An introduction to conformal field theory”. 《Reports on Progress in Physics》 63 (4): 607. doi:10.1088/0034-4885/63/4/203. arXiv:hep-th/9910156.
- Ginsparg, Paul (1988년 11월). “Applied Conformal Field Theory”. arXiv:hep-th/9108028.
- Andrea Cappelli, Jean-Bernard Zuber (2010). “A-D-E Classification of Conformal Field Theories”. 《Scholarpedia》 5 (4): 10314. doi:10.4249/scholarpedia.10314.
- Cardy, John (2006). 〈Boundary Conformal Field Theory〉. 《Encyclopedia of Mathematical Physics》. Academic Press. 333–340쪽. doi:10.1016/B0-12-512666-2/00398-9. ISBN 978-0-12-512666-3. arXiv:hep-th/0411189.
- Gaberdiel, Matthias R. (2006). 〈Two-Dimensional Conformal Field Theory and Vertex Operator Algebras〉. 《Encyclopedia of Mathematical Physics》. Academic Press. 317–322쪽. doi:10.1016/B0-12-512666-2/00327-8. ISBN 978-0-12-512666-3.
- C. Schweigert, J. Fuchs, J. Walcher (2000년 11월). “Conformal field theory, boundary conditions and applications to string theory”. arXiv:hep-th/0011109.
- Gaitsgory, Dennis (1998). “Notes on 2D Conformal Field Theory and String Theory”. arXiv:math/9811061.
- Todorov, I.T. (2000). “Two-dimensional conformal field theory and beyond. Lessons from a continuing fashion”. 《Bulgarian Journal of Physics》 27 (1). arXiv:math-ph/0011014.
- Blumenhagen, Ralph; Erik Plauschinn (2009). 《Introduction to conformal field theory with applications to string theory》. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-00450-6. ISBN 978-3-642-00449-0.
- Schottenloher, Martin (1997). 《A mathematical introduction to conformal field theory: Based on a series of lectures given at the Mathematisches Institut der Universität Hamburg》. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-70690-8. ISBN 978-3-540-61753-2.
- Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal (1997). 《Conformal Field Theory》. New York: Springer. ISBN 0-387-94785-X.
- Henkel, Malte (1999). 《Conformal invariance and critical Phenomena》. Springer. ISBN 978-3-540-65321-9.
- Malte Henkel, Dragi Karevski. 《Conformal invariance: An introduction to loops, interfaces and stochastic Loewner evolution》. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-27934-8. ISBN 978-3-642-27933-1.
- 임채호 (1995). 《등각장론》. 서울: 민음사. ISBN 8937435861.