함수
. 예를 들어
이다.
수학에서 함수의 합성(函數의合成, 영어: function composition) 또는 합성 함수(合成函數, 영어: composite function)는 한 함수의 공역이 다른 함수의 정의역과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.
임의의 집합
,
,
및 두 함수
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
![{\displaystyle g\colon Y\to Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6268a0bd7f3016093edf824725f1ffcba89f8064)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 합성
는 다음과 같은 함수이다.
![{\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842eb8ad3cc36e0f1b71d62b7bb90bdbe6c79091)
![{\displaystyle g\circ f\colon x\mapsto g(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11336ff70938a86a1e12320630524c59012178a3)
합성
가 정의되려면,
의 공역과
의 정의역이 같아야 한다.
함수의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합
,
,
,
및 함수
![{\displaystyle f\colon X\to Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b9ff205beb51e7899846aeae788ae5e5546a3e)
![{\displaystyle g\colon Y\to Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6268a0bd7f3016093edf824725f1ffcba89f8064)
![{\displaystyle h\colon Z\to W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0129466a1ac02825015b6c2efb9b25114f174e8)
가 주어졌을 때,
![{\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd41cf370eca43f809267c0c1c9065e8af58f3a1)
이다. 이에 따라, (항등 함수의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 범주를 이루는 것을 알 수 있다.
임의의
에 대하여
![{\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))=(h\circ g)(f(x))=((h\circ g)\circ f)(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f1acf938b0a2c588c8371e528c386fca8ff5b3)
이므로
![{\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54241bc77220479e208a59d88e5eca826086ab97)
이다.
임의의 집합
및 이를 정의역과 공역으로 하는 두 함수
가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성
,
을 정의할 수 있다. 이 경우 교환 법칙은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어,
가 실수체이고,
![{\displaystyle f\colon x\mapsto x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74abbcacd58918cd78022fcb3ca1da69ded6785)
![{\displaystyle g\colon x\mapsto x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b192ac8cc01762ff74637f8edc1ecac56b9b00d)
라고 하면,
![{\displaystyle g\circ f\colon x\mapsto (x+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b0c22f5b8c756298bc45ab39929fc254c01fd2)
![{\displaystyle f\circ g\colon x\mapsto x^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7e966aac501af2e07131fd77e3ff0a9e211b10)
이며,
![{\displaystyle (g\circ f)(1)=4\neq 2=(f\circ g)(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d972762b33ae65cb8c4546c97ea26d392c769c7c)
이므로
이다.