브라우너 공간
함수해석학에서 브라우너 공간(Brauner空間, 영어: Brauner space)은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합렬을 갖는 완비 콤팩트 생성 국소 볼록 공간 이다. 스테레오 공간의 이론에서, 프레셰 공간의 개념의 쌍대 개념이다.
정의
[편집]라고 하자.
-국소 볼록 공간 가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, -브라우너 공간이라고 한다.
- 는 (균등 공간으로서) 완비 균등 공간이다. (여기서 사용된 균등 공간 구조는 아벨 위상군의 표준적 균등 공간 구조이다.)
- 콤팩트 생성 하우스도르프 공간이다.
- 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.)
성질
[편집]임의의 -위상 벡터 공간 의 연속 쌍대 공간 위에, 의 모든 완전 유계 집합에서 균등 수렴하는 위상을 부여한 것을 스테레오 쌍대 공간(영어: stereotype dual space)이라고 하자.
즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다.
예
[편집]국소 콤팩트 공간 위의 측도 공간
[편집]시그마 콤팩트 국소 콤팩트 공간 이 주어졌다고 하자. 이제, 연속 함수의 공간
위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.
그렇다면 이는 위상 벡터 공간을 이룬다. 그 연속 쌍대 공간
은 측도의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.
그렇다면, 는 브라우너 공간이다.
매끄러운 다양체 위의 분포 공간
[편집]매끄러운 다양체 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간
위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.
은 분포의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.
그렇다면, 는 브라우너 공간이다.
슈타인 다양체
[편집]이 슈타인 다양체(영어: Stein manifold)라고 하자. 을 에 있는 콤팩트 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 에 있는 정칙함수의 공간이라고 두자. 에 있는 유계 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 에 있는 해석적 범함수의 쌍대 공간 은 브라우너 공간이다.
또한, 를 콤팩트 생성 슈타인 군이라고 하자. 의 지수형 정칙 함수(영어: exponential-type holomorphic function)의 공간 은 자연위상의 관점에서 볼 때 브라우너 공간이다.[2]
역사
[편집]칼만 조지 브라우너 2세(영어: Kalman George Brauner, Jr.)가 이 개념을 최초로 연구하였다.[3]
각주
[편집]- ↑ S.S.Akbarov (2003) .
- ↑ 가 나 S.S.Akbarov (2009) .
- ↑ K.Brauner (1973) .
- Schaefer, Helmuth H. (1966). 《Topological vector spaces》. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6.
- Robertson, A.P.; Robertson, W.J. (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press.
- Brauner, K. (1973). “Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem”. 《Duke Math. Jour.》 40 (4): 845–855. doi:10.1215/S0012-7094-73-04078-7.
- Akbarov, S.S. (2003). “Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra”. 《Journal of Mathematical Sciences》 113 (2): 179–349. doi:10.1023/A:1020929201133.[깨진 링크(과거 내용 찾기)]
- Akbarov, S.S. (2009). “Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity”. 《Journal of Mathematical Sciences》 162 (4): 459–586. doi:10.1007/s10958-009-9646-1. (구독 필요). [깨진 링크(과거 내용 찾기)]
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