함수의 연속

함수의 연속이란, 정의역의 특정구간에서 함수의 그래프가 전혀 끊어지지않고 하나의 줄로 쭉 이어지는 상태를 말한다.

그리고 연속이 아닌 모든 상태를 불연속이라 한다.

x=a에서의 연속

닫힌 구간 $[a,a]$ , 즉, $x=a$ 에서 함수 $f(x)$ 가 연속이려면 다음의 세가지의 조건을 동시에 만족시켜야 한다.

(i)함수 $f(x)$ 는 구간 $x=a$ 에서 정의된다.

(ii)극한값 $\lim _{x\to a}f(x)$는 존재한다.

(iii) $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

함수$f(x)$가 x=a에서 연속이면 적어도 x=a를 포함한, 어떤 특정범위의 정의역의 구간에 있는 그래프 만큼은 절대로 끊기지 않고 한 줄로 이어져있다. 때문에, 함수 f(x)가 x=a에서 연속인 이상, $x\to a$ 일때의 함수 f(x)의 극한값은 필연적으로 함숫값 f(a)인 것이다.

구간에서의 연속

함수 f(x)가 어떤 구간의 모든 점들에서 모두 연속일 때, 함수 f(x)는 이 구간에서 연속이라 한다. 또는

함수 f(x)는 이 구간에서 연속함수라고 한다.

구간 E에서 연속함수인 함수 f(x)는 이 구간에 속하는 모든 실수 e에 대하여 연속이다. 즉, $\lim _{x\to e}f(x)=f(e)$ 가 성립한다.

함수 f(x)가 a < b인 열린 구간 $(a,b)$에서 연속인지 아닌지를 알려면, 주어진 구간에서의 함수 f(x)의 그래프에 불연속점이 있는지 없는지를 조사해야한다. 불연속점이 없으면 연속이고, 있으면 불연속이다.

함수 f(x)가 a < b인 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속인지 아닌지를 알려면 다음을 모두 만족하는지, 만족못하는지를 알아야한다. 만족하면 연속이고, 못하면 불연속이다.

(i) 함수 f(x)는 열린 구간(a,b)에서 연속이다.

(ii) $\lim _{x\to a+}f(x)=f(a)$, $\lim _{x\to b-}f(x)=f(b)$

연속함수의 성질

함수 f(x), g(x)가 x=a에서 연속이면 다음의 함수들 또한 x=a에서 연속이다.

1. f(x)+g(x)
2. f(x)-g(x)
3. c × f(x)
4. f(x)g(x)
5. ${\frac {g(x)}{f(x)}}$ (단, $f(x)equ0$)