슈톨츠-체사로 정리

해석학에서, 슈톨츠-체사로 정리(영어: Stolz–Cesàro theorem)는 수열이 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다.

내용

두 실수열 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$이 세 조건

1. $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$이며 $(b_{n})$은 순단조수열
2. $\lim _{n\to \infty }b_{n}=+\infty$이며 $(b_{n})$은 순증가수열
3. $\lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty$이며 $(b_{n})$은 순감소수열

중 하나를 만족하고, 계차수열

$\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n},\ \Delta b_{n}=b_{n+1}-b_{n}$

의 비의 극한

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}=\ell$

이 존재하면, 두 수열의 비의 극한도 같은 값으로 존재한다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\ell$

예

예1

슈톨츠-체사로 정리를 이용하여 다음과 같은 극한을 계산할 수 있다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}+\cdots +{\sqrt {n}}}{\sqrt {n^{3}}}}$

분모 수열은 정리의 두 번째 전제를 만족한다.

• ${\sqrt {n^{3}}}$은 순증가수열이다.
• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n^{3}}}=+\infty$

분자와 분모의 계차수열은 각각 다음과 같다.

$\Delta a_{n-1}={\sqrt {n}}$

$\Delta b_{n-1}={\sqrt {n^{3}}}-{\sqrt {(n-1)^{3}}}$

정리에 의해 원래의 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {1}}+{\sqrt {2}}+\cdots +{\sqrt {n}}}{\sqrt {n^{3}}}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {n^{3}}}-{\sqrt {(n-1)^{3}}}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{({\sqrt {n}}-{\sqrt {n-1}})(n+{\sqrt {n(n-1)}}+n-1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {n}}({\sqrt {n}}+{\sqrt {n-1}})}{2n-1+{\sqrt {n(n-1)}}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\sqrt {1-{\frac {1}{n}}}}}{2-{\frac {1}{n}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{n}}}}}}\\&={\frac {1+1}{2-0+1}}={\frac {2}{3}}\end{aligned}}$

예2

$a_{n}\to e$일 때, 다음의 극한도 정리의 전제($e^{n}\to +\infty ,\ e^{n+1}>e^{n}$)를 만족하기에 쉽게 구할 수 있다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+ea_{2}+e^{2}a_{3}+\cdots +e^{n-1}a_{n}}{e^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{n}a_{n+1}}{e^{n}(e-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{e-1}}={\frac {e}{e-1}}$

증명

다음은 두 번째 조건에 관한 정리의 증명이다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}=\ell$임에 따라, 임의의 $\epsilon >0$에 대해 모든 자연수 $n\geq N$($N$은 어떤 큰 자연수)에 대하여, $\left|{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}-\ell \right|<\epsilon$, 즉 $|\Delta a_{n}-\ell \Delta b_{n}|<\epsilon \Delta b_{n}$이 성립한다. 따라서

${\begin{aligned}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-\ell &={\frac {a_{n}-\ell b_{n}}{b_{n}}}\\&={\frac {a_{N}+\sum _{k=N}^{n-1}\Delta a_{k}-\ell (b_{N}+\sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k})}{b_{N}+\sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k}}}\\&={\frac {a_{N}-\ell b_{N}+\sum _{k=N}^{n-1}(\Delta a_{k}-\ell \Delta b_{k})}{b_{N}+\sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k}}}\\&={\frac {{\frac {a_{N}-\ell b_{N}}{\sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k}}}+{\frac {\sum _{k=N}^{n-1}(\Delta a_{k}-\ell \Delta b_{k})}{\sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k}}}}{{\frac {b_{N}}{\sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k}}}+1}}={\frac {s+t}{u+1}}\\\end{aligned}}$

여기서 $s,t,u$는 각 위치의 항들을 간략히 쓴 것이다. $s,t,u$는 0으로 수렴한다. $t$에 대해서만 설명하자면,

$|t|\leq {\frac {\sum _{k=N}^{n-1}|\Delta a_{k}-\ell \Delta b_{k}|}{\sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k}}}<{\frac {\epsilon \sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k}}{\sum _{k=N}^{n-1}\Delta b_{k}}}=\epsilon$

고로 ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}$은 $\ell$로 수렴한다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\ell +\lim _{n\to \infty }{\frac {s+t}{u+1}}=\ell$

역

정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 두 수열

$(a_{n})=(10,10,100,100,1000,1000,\ldots )$

$(b_{n})=(10,11,100,101,1000,1001,\ldots )$

에 대해, $(b_{n})$은 양의 무한대로 발산하는 순증가수열이고, ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to 1$이지만, ${\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}$의 극한은 존재하지 않는다.

하지만 첫 번째 조건에 대한 부분적 역인 다음 명제는 참이다.

두 실수열 $(a_{n})$과 $(b_{n})$이 세 조건

• $\left({b_{n} \over \Delta b_{n}}\right)$은 유계이다.
• $b_{n}\neq 0,\ \Delta b_{n}\neq 0,\ \forall n$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\ell$

모두를 만족하면,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}=\ell$

이다.

관련 명제

루트

슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열 $(a_{n})$, $(b_{n})$이 두 조건

• $a_{n}>0,\ b_{n}>0,\ \forall n$
• $(b_{n})$은 양의 무한대로 발산하는 순증가수열이다.
• $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=\ell$

모두를 만족하면

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n}}]{a_{n}}}=\ell$

이다.

일반화

슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다.

두 실수열 $(a_{n})$, $(b_{n})$에 관하여, $(b_{n})$이 양의 무한대로 발산하는 순증가수열이면 다음이 성립한다.

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\Delta a_{n}}{\Delta b_{n}}}$

평균의 극한

이 정리를 응용하여 몇몇 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 일반적으로 $a$로 수렴하는 수열 $(a_{n})$에 대해 다음이 성립한다.

• 산술 평균의 극한 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}=a$
  • 이를 일반화 한 가중 산술 평균의 극한도 $a$로 같다. 다만, 이는 가중값의 총합이 무한대로 발산하는 것을 전제로 한다($w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}\to +\infty$).

    $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}w_{1}+a_{2}w_{2}+\cdots +a_{n}w_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}=a$

• 조화 평균의 극한 $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}=a$
• 산술-기하 평균 부등식, 샌드위치 정리, 그리고 위에 적힌 산술 평균과 기하 평균에 대한 명제에 따라, 기하 평균의 극한도 $a$라는 것을 보일 수 있다.
• 멱평균, 가중 멱평균, 일반화된 f-평균의 극한도 $a$를 값으로 한다. (각 전제조건은 아래에 쓰여있다.)

  $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p}]{\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}}a$ 단, $p\neq 0$.

  $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p}]{\frac {w_{1}a_{1}^{p}+w_{2}a_{2}^{p}+\cdots +w_{n}a_{n}^{p}}{n}}}=a$ 단, $w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}\to +\infty$.

  $\lim _{n\to \infty }f^{(}-1)({\frac {f(a_{1})+f(a_{2})+\cdots +f(a_{n})}{n}})=a$, 단 $f$는 가역 연속함수.

다른 응용

• 로피탈의 정리의 증명에 사용된다.

역사

오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(독일어: Otto Stolz)와 이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(이탈리아어: Ernesto Cesàro)가 제시하였다.

참고 문헌

• Mureşan, Marian (2008), 《A Concrete Approach to Classical Analysis》 (영어), Berlin: Springer, 85쪽, ISBN 978-0-387-78932-3 .
• Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), 《Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis》 (독일어) I, Berlin: Springer .

G. M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 55-56. ISBN 83-01-02175-6.

같이 보기

• 로피탈의 정리
• 타우버의 정리
• 코시 수렴판정법
• 수열의 극한
• 점근 표기법
• 체사로 평균
• 체사로 합

바깥 고리

• “{{{urlname}}}”. 《PlanetMath》 (영어). 
• L’Hopital’s Theorem - IMOmath (영어) (슈톨츠-체사로 정리의 일반화 형식의 증명 포함)