기하 평균

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기하 평균(幾何平均)은 n개의 양수 값을 모두 곱한 것의 n제곱근이다.

정의[편집]

집합 {a1, a2, …, an}의 기하 평균은 다음과 같다.

\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^{1/n} = (a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n)^{1/n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n}

어떤 숫자들의 기하 평균은 그 숫자들의 산술 평균보다 언제나 작거나 같으며, 특히 모든 숫자가 같을 경우에 두 평균이 같아진다.

기하 평균은 산술 조화 평균이기도 하다. 두 수열 (an)과 (hn)을 다음과 같이 정의했을 때,

a_{n+1} = \frac{a_n + h_n}{2}, \quad a_1=\frac{x + y}{2}
h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{h_n}}, \quad h_1=\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

anhn은 모두 xy의 기하 평균으로 수렴한다.

로그의 산술평균과의 관련[편집]

로그 항등식을 사용해서 기하평균 공식을 변환시키면, 곱셈을 덧셈으로, 제곱을 곱셈으로 바꿔서 다음과 같은 공식을 만들 수 있다.

\left(\prod_{i=1}^n a_i \right)^{1/n} = \exp\left[\frac1n \sum_{i=1}^n\ln a_i\right]

즉, 어떤 숫자들의 기하평균은 그 숫자들의 로그값에 대해 산술평균을 구한 뒤 지수 함수를 취한 것과 같다. 다른 말로 하면, 기하 평균은 f(n) = ln x일 때의 일반화된 f-평균이다.

기하평균의 필요성[편집]

곱셈으로 계산하는 값에서의 평균을 계산하고자 할 때 산술 평균이 아닌 기하 평균을 사용한다. 예를 들어 어떤 값이 처음에 1000이고, 첫 해에 10% 증가하고, 그 다음 해에 20% 증가하고, 그 다음 해에 15% 감소했다고 할 때 결과 값은 처음의 값 1000에 1.1, 1.2, 0.85의 기하평균을 세 번 곱한 값이 된다. 1.1, 1.2, 0.85의 기하평균 (1.1 × 1.2 × 0.85)1/3 = 1.0391...이므로, 3년동안 평균 3.91%씩 증가한 셈이다. 즉, 1000 × 1.1 × 1.2 × 0.85 = 1000 × (1.0391)3 이다.

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