유일 인수 분해 정역

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가환대수학에서, 유일 인수 분해 정역(有一因數分解整域, 영어: unique factorization domain, 약자 UFD) 또는 인자환(영어: factorial ring)은 0이 아닌 원소를 소원으로 유일하게 인수 분해할 수 있는 가환환이다. 이는 정수의 유일 인수 분해 가능성을 일반화한 것이다.

정의[편집]

정역 R가 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 유일 인수 분해 정역이라고 한다.

  • 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 소원들의 곱으로 나타낼 수 있다.
  • 모든 0이 아닌 원소는 유한한 수의 기약원들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 이 인수 분해는 유일하다. 즉, a\in R\setminus\{0\}를 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수 분해하였다고 하자.
a=\prod P=\prod Q
여기서 P=\{p_1,\dots,p_m\}=PQ=\{q_1,\dots,q_n\}는 모두 기약원들로 구성된 중복집합이다. 그렇다면 전단사 함수 \phi\colon P\to Q가 존재하며, 모든 p\in P에 대하여
\phi(p)=u(p)p
가역원 u(p)\in R이 존재한다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환정역정수적으로 닫힌 정역크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역유클리드 정역

데데킨트 정역 R의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

즉, 데데킨트 정역에서 아이디얼 유군은 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다.

유일 인수 분해의 충분 조건[편집]

가우스 보조정리(영어: Gauss’ lemma)에 따르면, 유일 인수 분해 정역 R에 대하여, 그 다항식환 R[x_1,x_2,\dots,x_n] 역시 유일 인수 분해 정역이다.

뇌터 정역에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:234, Corollary 10.6[2]:161–162, Theorem 20.1

나가타 보조정리(영어: Nagata’s lemma)는 다음과 같다.[1]:483, Lemma 19.20 R가 뇌터 정역이며, r\in R가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.

그렇다면 R는 유일 인수 분해 정역이다.

오슬랜더-북스봄 정리(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)에 따르면, 모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이다.[1]:483, Theorem 19.19[2]:163, Theorem 20.3

뇌터 유일 인수 분해 정역 D에 대하여, 만약 S\subseteq D에 대하여 0\not\in S라면, 국소화 S^{-1}D 역시 유일 인수 분해 정역이다.

대수적 정수환의 유일 인수 분해[편집]

일반적으로, 대수적 수체대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역일 필요충분조건은 그 아이디얼 유군자명군이라는 것이다. 즉, 이는 유수(= 아이디얼 유군의 크기)가 1인 경우이다. (대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로, 이 경우 유일 인수 분해 정역일 조건과 주 아이디얼 정역일 조건이 동치이다.)

n제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 실수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt n)대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt n]이 유일 인수 분해 정역을 이루는 경우는 다음과 같다.

n = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, … (OEIS의 수열 A3172)

허수 이차 수체 \mathbb Q(\sqrt{-n})대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-n}]이 유일 인수 분해 정역을 이루는 n헤그너 수라고 한다. 헤그너 수는 총 9개가 있으며, 다음과 같다.

n = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (OEIS의 수열 A3173)

n\in\mathbb Z^+이 양의 정수라고 하며,

n\not\equiv2\pmod4

라고 하자. 또한, \zeta_n\zeta_n^n=1을 만족시키는 수라고 하자. 원분체 \mathbb Q(\zeta_n)의 대수적 정수환 \mathbb Z[\zeta_n]이 유일 인수 분해 정역인 n은 총 30개가 있으며, 이들은 다음과 같다.

n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A5848)

(만약 n\equiv2\pmod4인 경우 \mathbb Q(\zeta_n)=\mathbb Q(\zeta_{n/2})이므로 중복된다.)

[편집]

수학에서 등장하는 많은 들이 유일 인수 분해 정역을 이룬다.

유일 인수 분해 정역이 아닌 예로는 다음을 들 수 있다.

  • 대수적 정수환 \mathbb Z[\sqrt{-5}]은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 예를 들어, 6을 다음과 같이 두 가지 방법으로 인수분해할 수 있다.
6=2\cdot3=(1-\sqrt{-5})(1+\sqrt{-5})
  • 복소 평면 \mathbb C 위의 정칙 함수들의 환은 유일 인수 분해 정역이 아니다. 이는 무한히 많은 영점들을 갖는 함수는 유한하게 인수 분해 할 수 없기 때문이다. 예를 들어, 복소 사인 함수 z\mapsto \sin z는 무한히 많은 영점을 가져, 유한하게 인수 분해할 수 없다.

참고 문헌[편집]

  1. Eisenbud, David (1999). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 150. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. Zbl 0819.13001. 
  2. Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》 (영어). Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461. 

바깥 고리[편집]