크룰 차원

가환대수학과 대수기하학에서 크룰 차원(Krull次元, 영어: Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

정의

위상 공간의 차원

위상 공간 $X$ 의 기약 집합(영어: irreducible set)은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.^[1]^:3 (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) $X$ 의 크룰 차원은 $X$ 의 기약 집합들의 사슬

I_{0}\subsetneq I_{1}\subsetneq \cdots I_{n-1}\subsetneq I_{n}

의 길이들의 상한 $n\in \mathbb {N} \cup \{+\infty ,-\infty \}$ 이다.^[1]^:5 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 $-\infty$ 이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 $-\infty$ 이다.

위상 공간 $X$ 의 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

\dim X=\sup _{i\in I}\dim U_{i}

가군의 차원

가환환 $R$ 위의 가군 $M$ 의 크룰 차원은 다음과 같다.^[2]^:226

\dim _{R}M=\dim \operatorname {Spec} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))

여기서 $\operatorname {Ann} _{R}(M)$ 은 $M$ 의 소멸자이며, $\operatorname {Spec}$ 은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 $M$ 을 $\operatorname {Spec} R$ 위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

아이디얼의 높이

가환환 $R$ 의 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$ 의 높이(영어: height) $\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}$ 는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 $n$ 이다.

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}

이는 국소화 $R_{\mathfrak {p}}$ 의 크룰 차원과 같다.

\dim R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}

가환환 $R$ 의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$ 의 높이(영어: height) $\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}$ 는 ${\mathfrak {a}}$ 를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.

\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}=\inf _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R}\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {p}}

(초른 보조정리에 따라, ${\mathfrak {a}}$ 를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 $\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spec} R$ 의 여차원과 같다.

\operatorname {codim} _{R}(R/{\mathfrak {a}})=\operatorname {ht} _{R}{\mathfrak {a}}

성질

가환환의 차원

$R$ 가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 $R$ 의 소 아이디얼들 ${\mathfrak {p}}_{i}$ 가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

을 이룰 때, 음이 아닌 정수 $n$ 을 집합 $H(R)\subset \mathbb {N}$ 의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 $R$ 의 크룰 차원은 $H(R)$ 의 상한이다.^[1]^:6 즉,

\dim R=\sup H(R)\in \mathbb {N} \sqcup \{\infty \}

자명환의 경우, 크룰 차원은

-\infty

이다.

그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.

$R$ 의 환으로서의 크룰 차원
스펙트럼 $\operatorname {Spec} R$ 의 크룰 차원
$R$ 를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, $R$ 의 가군 크룰 차원

가환환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

체이다.
크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]^{:227, Corollary 9.1}^[3]^{:90, Theorem 8.5}

아르틴 환이다.
크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.

일반적인 가환환 $R$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

\dim R+1\leq \dim R[x]\leq 2\dim R+1

만약 $R$ 가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.^[2]^{:Corollary 10.13}

\dim R[x]=1+\dim R

대수다양체의 차원

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대한 아핀 대수다양체 $V=\operatorname {Spec} K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}$ ( ${\mathfrak {p}}$ 는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]^:124–125

$V$ 의 크룰 차원이 $d$ 이다.
$V$ 의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 $d$ 이다.
$V$ 의 유리 함수체 $\Gamma (V,{\mathcal {K}}_{V})=\operatorname {Frac} (K[x_{1},\dots ,x_{n}/{\mathfrak {p}})$ 의 $K$ 에 대한 초월 차수가 $d$ 이다.
$K[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}$ 의 힐베르트 다항식이 $d$ 차 다항식이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대한 사영 대수다양체 $V=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}$ ( ${\mathfrak {p}}$ 는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$V$ 의 크룰 차원이 $d$ 이다.
$V$ 의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 $d$ 이다.
$K[x_{0},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {p}}$ 의 $K$ 에 대한 초월 차수가 $d+1$ 이다.

뇌터 국소환의 차원

뇌터 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.^[3]^:119 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.

$R$ 의 크룰 차원 $\dim R$
$R$ 에서, $R/(r_{1},r_{2},\dots ,r_{\delta })$ 가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 $(r_{1},\dots ,r_{\delta })$ 의 생성원들의 최소 크기 $\delta$
${\mathfrak {q}}$ 가 임의의 ${\mathfrak {m}}$ -으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수
$P(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\ell ({\mathfrak {q}}^{n}/{\mathfrak {q}}^{n+1}))t^{n}\in \mathbb {Z} [[t]]$
를 정의할 수 있다 ( ${\mathfrak {q}}^{0}=R$ , $\ell$ 은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, $P(t)\in \mathbb {Z} (t)$ 의 $t=1$ 에서의 극점의 차수를 $d$ 라고 하자. 이 값은 ${\mathfrak {q}}$ 의 선택에 관계없다.

이렇게 정의하면, 항상

\dim R=\delta =d<\infty

이다.

정칙 국소환의 차원

정칙 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.^[3]^{:123, Theorem 11.22}

뇌터 국소환으로서의 차원 $\dim R$ (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
$\dim _{R/{\mathfrak {m}}}({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})$ . 여기서 $\dim _{R/{\mathfrak {m}}}$ 은 체 $R/{\mathfrak {m}}$ 위의 벡터 공간의 차원이다.
${\mathfrak {m}}$ 의 최소 생성 집합의 크기
$\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong (R/{\mathfrak {m}})[x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}]$ 일 때, $d$ . 여기서 ${\mathfrak {m}}^{0}=R$ 이다.

예

가환환의 차원

크룰 차원이 $-\infty$ 인 유일한 가환환은 자명환이다.

체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

$k$ 가 체라고 하자. 그렇다면 $k[x]$ 는 주 아이디얼 정역이므로 $\dim k[x]=1$ 이다. 보다 일반적으로, $\dim k[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]=n$ 이다.^[1]^:6

자연수 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여, 가환환 $\mathbb {Z} /(n)$ 의 크룰 차원은 다음과 같다.

\dim \mathbb {Z} /(n)={\begin{cases}1&n=0\\-\infty &n=1\\0&n\neq 0,1\end{cases}}

위상 공간의 차원

위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

시에르핀스키 공간 $X=\{0,1\}$ , ${\mathcal {T}}=\{\varnothing ,\{1\},X\}$ 의 기약 집합은 $\{0\}$ 및 $\{0,1\}$ 이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

벡터 공간의 크룰 차원

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 $\operatorname {Ann} _{K}(V)=(0)$ 이며, $\operatorname {Spec} (K/(0))=\operatorname {Spec} K$ 는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

무한 차원의 뇌터 가환환

체 $K$ 에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환

R=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]

를 생각하자. 임의의 증가 정수열

0=n_{1}<n_{2}<n_{3}<n_{4}<\cdots

가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열

{\mathfrak {p}}_{i}=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots ,x_{n})\qquad (i=1,2,3,\dots )

을 생각하자. 그렇다면 $R$ 를

S=K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]\setminus \bigcup _{i=1}^{\infty }{\mathfrak {p}}_{i}

에 국소화하면, $S^{-1}R$ 는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은

\dim S^{-1}R=\sup\{n_{i}-n_{i-1}\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}

이다. 만약 $\sup\{n_{i}-n_{i-1}\colon i\in \mathbb {Z} ^{+}\}=\infty$ 라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.^[4]^{:Appendix, Example E1}^[2]^{:229, Exercise 9.6}

역사

볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.^[5]

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Atiyah, Michael; Ian G. MacDonald (1969). 《Introduction to commutative algebra》 (영어). Addison-Wesley.
↑ Nagata, Masayoshi (1962). 《Local rings》. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 13. Wiley Interscience.
↑ Krull, Wolfgang (1928년 12월 1일). “Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 28 (1): 481–503. doi:10.1007/BF01181179.

외부 링크

“Dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Krull dimension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[Hartshorne-1] 가 ^나 ^다 ^라 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[Eisenbud-2] 가 ^나 ^다 ^라 Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.

[AtiyahMacDonald-3] 가 ^나 ^다 ^라 Atiyah, Michael; Ian G. MacDonald (1969). 《Introduction to commutative algebra》 (영어). Addison-Wesley.

[4] Nagata, Masayoshi (1962). 《Local rings》. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 13. Wiley Interscience.

[5] Krull, Wolfgang (1928년 12월 1일). “Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 28 (1): 481–503. doi:10.1007/BF01181179.

[1]

[2]

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[4]

[5]