코시-아다마르 정리

코시-아다마르 정리(Cauchy-Hadamard theorem, -定理)는 해석학의 기초적인 정리로, 거듭제곱 급수의 수렴 반경에 대한 정보를 제공한다. 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시와 자크 아다마르의 이름이 붙어 있다.

공식화

코시-아다마르 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다. 적당한 복소수 수열 {c_n}에 대해, 다음의 거듭제곱 급수

• $\sum_{k=1}^{\infty} c_kz^k$

의 수렴 반경 R은 다음 식으로 주어진다.

• $\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}$

증명

$a_n := c_nz^n$ 으로 두고 근 판정법을 적용하면 다음과 같이 바로 증명할 수 있다.

$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = |z| \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \frac{|z|}{R}.$

따름정리

극한의 계산을 편하게 할 수 있는 따름정리를 곧바로 유도할 수 있다. 수열의 비와 근 사이에 성립하는 다음의 일반적인 부등식을 보면,

$\liminf_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}| \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} \le \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} \le \limsup_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|$

다음 극한이 존재할 경우,

$\lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|$

위 부등식에서 바깥의 두 상극한과 하극한이 같아져서 네 식이 모두 같아지므로 코시-아다마르 정리에 의해 다음이 성립한다.

• $\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|.$

참고 문헌

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1973.