코시-아다마르 정리

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미적분학
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코시-아다마르 정리(Cauchy-Hadamard theorem, -定理)는 해석학의 기초적인 정리로, 거듭제곱 급수의 수렴 반경에 대한 정보를 제공한다. 프랑스수학자 오귀스탱 루이 코시자크 아다마르의 이름이 붙어 있다.

공식화[편집]

코시-아다마르 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1] 적당한 복소수 수열 {cn}에 대해, 다음의 거듭제곱 급수

  • \sum_{k=1}^{\infty} c_kz^k

의 수렴 반경 R은 다음 식으로 주어진다.

  • \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}

증명[편집]

a_n := c_nz^n 으로 두고 근 판정법을 적용하면 다음과 같이 바로 증명할 수 있다.[1]

\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = |z| \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \frac{|z|}{R}.

따름정리[편집]

극한의 계산을 편하게 할 수 있는 따름정리를 곧바로 유도할 수 있다. 수열의 비와 근 사이에 성립하는 다음의 일반적인 부등식[2]을 보면,

\liminf_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}| \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} \le \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} \le \limsup_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|

다음 극한이 존재할 경우,

\lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|

위 부등식에서 바깥의 두 상극한하극한이 같아져서 네 식이 모두 같아지므로 코시-아다마르 정리에 의해 다음이 성립한다.

  • \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} |\frac{c_{n+1}}{c_n}|.

주석[편집]

  1. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1973, p. 73.
  2. Ibid., p. 68.

참고 문헌[편집]

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1973.