원주율
R
{\displaystyle \mathbb {\mathbb {R} } }
(무리수)
수학적 기수법
숫자평가
π
{\displaystyle \pi }
10진법
3.14159265358979323846264338…
2진법
11.00100100001111110110…
16진법
3,243F6A8885A308D31319…
60진법
3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
근사치
22 ⁄7 179 ⁄57 223 ⁄71 333 ⁄106 355 ⁄113 103993 ⁄33102
수학
연분수
[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, … ]
삼각함수
π
{\displaystyle \pi }
이용
원넓이 · 원둘레 · 기타 이용
특성
무리수 · 초월수
유용성
22/7보다 작음증명 · 근사값 · 값 암기
관련 인물
아르키메데스 · 유휘 · 조충지 · 윌리엄 조이스
산가마그라마의 마드하바 · 존 마친 · 존 렌치
· 뤼돌프 판 쾰런 · 아리아바타
역사
연대기 · 원주율의 역사
파란색 영역의 넓이는 오일러-마스케로니 상수 로, 유리수인지 아닌지는 밝혀지지 않았다. 플린트 힐스 급수 의 수렴 여부
γ
{\displaystyle \gamma }
오일러-마스케로니 상수 ), π e π − e , π e , π /e , π e π √2 π π π 2 ln π , 2e ee , 카탈랑 상수 , 킨친 상수 는 유리수인가, 대수적 무리수인가, 초월수인가?[1] [2] [3] 센도프 추측: 2 이상의 정수 n에 대하여 모든 근 r 1 , ..., rn 이 단위 원판 |z | ≤ 1 내에 있는 다항식
f
(
z
)
=
(
z
−
r
1
)
⋯
(
z
−
r
n
)
{\displaystyle f(z)=(z-r_{1})\cdots (z-r_{n})}
임계점 으로부터 1 이내의 거리에 있는가?
지난 세기부터 다수의 소규모 목록들이 출현하였다.
일진법 소수 [ 편집 ]
∑
k
=
1
∞
(
k
10
(
1
2
k
(
k
+
1
)
)
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k}{10^{\left({\frac {1}{2}}k(k+1)\right)}}}\right)}
120000000000013000000000000140000000000000150000000...
밀레니엄 문제 [ 편집 ] 2021년 현재 밀레니엄 문제 중 푸앵카레 추측 만이 해결된 상태이다.
미해결 문제1 [ 편집 ]
∑z=1 to ∞ (1/(z^2))
ζ(2)
∑
z
=
1
∞
1
z
2
{\displaystyle \textstyle \sum _{z=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}}}}
∑
z
=
1
∞
(
z
2
)
−
1
{\displaystyle \textstyle \sum _{z=1}^{\infty }{(z^{2)^{-1}}}}
π
2
6
{\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{6}}}
∑z=1 to ∞
((1)/(10^(z^2)
1/2 (ϑ_3(0, 1/10) - 1)
∑
z
=
1
∞
1
10
z
2
{\displaystyle \textstyle \sum _{z=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{z^{2}}}}}
∑
z
=
1
∞
(
10
z
2
)
−
1
{\displaystyle \textstyle \sum _{z=1}^{\infty }(10^{z^{2)^{-1}}}}
0.1001000010000001000000001000000000010000000000001000000000000001000000000000000010000000000000000001
000000000000000000001000000000000000000000010000000000000000000000001000000000000000000000000001000000
000000000000000000000010000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000001000000000000000 .(10진수) (OEIS-A010052)
π
=
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
4
8
k
+
1
−
2
8
k
+
4
−
1
8
k
+
5
−
1
8
k
+
6
)
{\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{16^{k}}}\left({\dfrac {4}{8k+1}}-{\dfrac {2}{8k+4}}-{\dfrac {1}{8k+5}}-{\dfrac {1}{8k+6}}\right)}
π
=
1
2
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
8
8
k
+
2
+
4
8
k
+
3
+
4
8
k
+
4
−
1
8
k
+
7
)
=
1
4
∑
k
=
0
∞
1
16
k
(
8
8
k
+
1
+
8
8
k
+
2
+
4
8
k
+
3
−
2
8
k
+
5
−
2
8
k
+
6
−
1
8
k
+
7
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
4
k
(
2
4
k
+
1
+
2
4
k
+
2
+
1
4
k
+
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+5}}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}}
제곱근 무리성 증명 [ 편집 ]
∏
k
=
1
∞
π
(
2
−
1
)
k
=
∏
k
=
1
∞
π
(
1
/
2
)
k
{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\pi ^{(2^{-1){^{k}}}}=\prod _{k=1}^{\infty }\pi ^{(1/2)^{^{k}}}}
(
π
×
π
×
π
×
π
×
π
×
π
×
π
×
.
.
.
.
{\displaystyle ({\sqrt {\pi }}\times {\sqrt {\sqrt {\pi }}}\times {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\pi }}}}\times {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\pi }}}}}\times {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\pi }}}}}}\times {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\pi }}}}}}}\times {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\sqrt {\pi }}}}}}}}\times ....}
에는 0부터 9이 균등하게 나타날 것이지만 알려지지 않아 오히려 0부터 9이 각각 무수하게 나타날지도 모른다.
만약 만일 정규 수 없다면 난수열도 아니라는 것이다. 5조 자릿수까지의 숫자의 출현 회수는 아래와 같다. 모두 엇비슷하다(약 0.0005%의 차이다), 가장 많은 것은 8 이고 가장 적은 것은6 이다.
원주율 빈도수(50조 자리)3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, … 가장 많은 것은8 가장 적은 것은6이다.
0 :4999억 9897만 6328회
1 :4999억 9996만 6055회
2 :5000억 0070만 5108회
3 :5000억 0015만 1332회
4 :5000억 0026만 8680회
5 :4999억 9949만 4448회
6 :4999억 9893만 6471회
7 :5000억 0000만 4756회
8 :5000억 0121만 8003회
9 :5000억 0027만 8819회
(소수의 규칙과 제타함수의 자명한 무리성)
국내에서 유일하게 리만가설 증명에 도전하고 있는 기하서 연세대 수학과 교수는 "리만가설은 일반인에게는 너무 어렵고 생소한 내용"이라며 "큰 줄기만 이해하면 수학계에서 벌어지는 일을 재미있게 즐길 수 있다"고 설명했다. 리만가설이 대체 무엇인지 큰 줄기만이라도 한번 잡아보자는 의도에서 리만가설을 가장 쉬운 언어로 풀어봤다
중학교 수학 교과서에 등장하는 소수는 '1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수'를 뜻한다. 2부터 시작해서 3, 5, 7, 11, 13, 17… 등으로 이어지는데 1과 자기 자신 외에는 나눌 수 있는 숫자가 없어 소수는 '수의 원자'라고도 부르기도 한다. 소수의 배열은 불규칙해 보인다. 2와 3 다음에 5로 이어지고 7이 됐다가 갑자기 11로 넘어간다.
겔폰트 상수와 원주율(음수와 허수)
겔폰트 상수는 대략 23.14이다. (ln 23.14 =log_e 23.14= 3.14) 원주율이랑 비슷하므로 암기하기에 쉽니다.
복소수(실수와 허수의 합의 꼴로 나타내는 수) 평면에서 리만 제타함수가 '0'이 되는 지점을 찾았다. -2, -4, -6… 등 음의 짝수들은 리만 제타함수가 0이 되는데 이를 '자명한 해'라고 한다. 그런데 리만 제타함수에는 자명하지 않은 해들이 무한개 있는데 이들은 실수부가 0과 1사이에 있고 처음 4개의 해들이 2분의 1이라는 일직선상에 있었다. 이를 확인한 뒤 리만은 "리만 제타함수의 자명하지 않은 해들이 이 일직선상에 있다"고 가정하면서 소수정리를 증명한다. 기 교수는 "리만이 논문에서 말한 이 가정이 바로 리만가설"이라고 말했다. 즉 처음 4개의 점이 일직선상에 있는 것을 확인했으니 나머지 점도 같은 직선에 있다고 가정한 것이다.
미해결 문제2 [ 편집 ] 다음 수는 초월수 인가?
π
±
e
,
π
e
,
π
e
,
π
π
,
π
e
,
π
2
,
e
π
2
.
{\displaystyle \pi \pm e,\pi e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{\pi },\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},e^{{\pi }^{2}}.}
수치
수식
수치
(
1
2
)
!
=
π
2
=
π
1
2
2
{\displaystyle ({\frac {1}{2}})!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{2}}}{2}}}
∫
0
1
(
l
o
g
(
1
t
)
)
=
∫
0
1
(
l
o
g
(
1
t
)
)
1
2
{\displaystyle {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {(log({\frac {1}{t}}))}}}=\int _{0}^{1}(log({\frac {1}{t}}))^{\frac {1}{2}}}
= 0.88622692545275801364908374167057259139877472806119356410690... (OEIS-A019704)
e
π
=
(
−
1
)
−
i
{\displaystyle e^{\pi }=(-1)^{-i}}
π
e
{\displaystyle \pi ^{e}}
π
e
+
e
π
(
i
2
)
(
e
π
i
)
+
π
e
e
π
(
π
e
)
2
{\displaystyle {\frac {\pi ^{e}+e^{\pi }}{(i^{2})(e^{\pi i})+{\frac {\pi ^{e}e^{\pi }}{{(\pi ^{e})}^{2}}}}}}
(
π
e
+
e
π
)
(
i
2
e
π
i
+
(
(
π
e
e
π
)
(
(
π
e
)
2
)
−
1
)
−
1
)
{\displaystyle (\pi ^{e}+e^{\pi })(i^{2}e^{\pi i}+((\pi ^{e}e^{\pi })((\pi ^{e)^{2}})^{-1})^{-1})}
(
π
e
)
2
)
≠
π
e
2
{\displaystyle (\pi ^{e)^{2}})\neq \pi ^{e^{2}}}
수식
수치
π
⋅
e
=
6
∏
k
=
1
∞
(
2
k
+
3
2
k
+
1
)
2
k
+
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
=8.539734222673567065463550869546574495034888535765114961879601130179228611157...
π
e
{\displaystyle {\frac {\pi }{e}}}
정규수 인가?
수식
수치
π
e
=
2
∏
k
=
1
∞
(
2
k
+
1
2
k
−
1
)
2
k
−
1
(
k
k
+
1
)
2
k
{\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}
=1.15572734979092171791009318331269629912085102316441582049970653532728863184091...
e
π
{\displaystyle {\frac {e}{\pi }}}
정규수 인가?
수식
정규화
수치
lim
k
→
∞
(
1
+
1
π
10
k
)
π
10
k
=
e
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{(1+{\frac {1}{{\pi }10^{k}}})^{{\pi }10^{k}}}=e}
e
≠
π
{\displaystyle e\neq \pi }
=2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594...
예시:
∑
k
=
1
3
k
=
(
1
+
2
+
3
)
,
∑
k
=
1
5
k
=
(
1
+
2
+
3
+
4
+
5
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{3}k=(1+2+3),\sum _{k=1}^{5}k=(1+2+3+4+5)}
p
F
q
(
(
a
1
=
0
)
(
a
2
=
1
)
(
a
3
=
0
)
(
a
4
=
2
)
(
a
5
=
0
)
(
a
6
=
3
)
(
a
7
=
0
)
…
,
a
p
(
b
1
=
1
)
(
b
1
=
2
)
(
b
1
=
3
)
(
b
1
=
4
)
(
b
1
=
5
)
(
b
1
=
6
)
(
b
1
=
7
)
…
,
(
log
10
b
n
)
=
b
p
)
;
z
)
{\displaystyle {}_{p}F_{q}\left({(a_{1}=0)(a_{2}=1)(a_{3}=0)(a_{4}=2)(a_{5}=0)(a_{6}=3)(a_{7}=0)\ldots ,a_{p} \atop (b_{1}=1)(b_{1}=2)(b_{1}=3)(b_{1}=4)(b_{1}=5)(b_{1}=6)(b_{1}=7)\ldots ,({\log _{10}{bn})=b_{p}})};z\right)}
수식
수치
1
π
=
2
2
9801
∑
k
=
0
∞
(
4
k
)
!
(
1103
+
26390
k
)
k
!
4
(
396
4
k
)
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}}
=0.3183098861837906715377675267450287240689192914809128974953346881177935952684530...
오일러-마스케로니 상수 γ의 알려진 십진 자릿수
원주율 (圓周率, pi , 문화어 :
π
{\displaystyle \pi }
원둘레 와 지름의 비 즉, 원 의 지름 에 대한 둘레 의 비율 을 나타내는 수학 상수 수학 과 물리학 의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 π 로 표기하고, 파이 (π)라고 읽는다.[14] 아르키메데스 의 계산이 널리 알려져 있어 아르키메데스 상수 (Archimedes' constant)라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런 이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 뤼돌프 수 [15]
원주율의 값은 3.141592653589...로, 순환하지 않는 무한소수(무리수 )이기 때문에 근삿값으로 3.14를 사용하거나 기호 파이(π )로 사용한다.
원주율의 값 [ 편집 ]
π
{\displaystyle \pi }
π
{\displaystyle \pi }
Peter Trüb의 웹사이트 에서 다운로드 받을 수 있다.
3.1415926535
8979323846
2643383279
5028841971
6939937510
5820974944
5923078164
0628620899
8628034825
3421170679
8214808651
3282306647
0938446095
5058223172
5359408128
4811174502
8410270193
8521105559
6446229489
5493038196
4428810975
6659334461
2847564823
3786783165
2712019091
4564856692
3460348610
4543266482
1339360726
0249141273
7245870066
0631558817
4881520920
9628292540
9171536436
7892590360
0113305305
4882046652
1384146951
9415116094
3305727036
5759591953
0921861173
8193261179
3105118548
0744623799
6274956735
1885752724
8912279381
8301194912
9833673362
4406566430
8602139494
6395224737
1907021798
6094370277
0539217176
2931767523
8467481846
7669405132
0005681271
4526356082
7785771342
7577896091
7363717872
1468440901
2249534301
4654958537
1050792279
6892589235
4201995611
2129021960
8640344181
5981362977
4771309960
5187072113
4999999
2978049951
0597317328
1609631859
5024459455
3469083026
4252230825
3344685035
2619311881
7101000313
7838752886
5875332083
8142061717
7669147303
5982534904
2875546873
1159562863
8823537875
9375195778
1857780532
1712268066
1300192787
6611195909
2164201989...
수학적 특성 [ 편집 ] 원주율은 두 정수 의 비로 나타낼 수 없는 무리수 이다. 또한, 계수 가 유리수 인 다항식 의 근 이 될 수 없는 초월수 이다.
가장 아름다운공식 [ 편집 ] eπi + 1 = 0오일러의 등식 ）
(자연로그(e) 허수 단위(i) 원주율(π) 사이의 간명한 관계를 나타내는 등식이다.)
오일러 등식(Euler's Equation, Euler's Identity)은 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 불린다. 일본 영화 '박사가 사랑한 수식'에서 박사가 사랑한 수식이 오일러 등식이다.
오일러 등식을 아름다운 공식이라고 부르는 이유는 오일러 등식에 자연상수 e, π, 허수, 1, 0과 같은 수학에서 중요한 요소들의 상관 관계를 나타내기 때문이다. 서로 전혀 다른 요소들이 단순한 수식의 관계를 가지기 때문에 아름다운 공식이라고 부른다.
처음 보면 당연하고 흔한 수식이라고 생각할 수 있지만, 기원이 전혀 다른 자연상수 e와 π가 이와 같은 관계를 가지고 있는 것이 신기하다
겔폰트 정수
e
π
=
(
−
1
)
−
i
=
(
e
i
π
)
−
i
=
23.14069263
…
{\displaystyle e^{\pi }=(-1)^{-i}=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=23.14069263\ldots }
가장 쉬운 공식 [ 편집 ]
(
1
2
)
!
=
π
2
=
π
1
2
2
{\displaystyle ({\frac {1}{2}})!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{2}}}{2}}}
(
−
1
2
)
!
=
π
=
(
π
)
1
2
=
(
Γ
(
(
1
2
)
)
)
{\displaystyle (-{\frac {1}{2}})!={\sqrt {\pi }}={(\pi )}^{\tfrac {1}{2}}=(\Gamma (\left({\frac {1}{2}}\right)))}
계산식 [ 편집 ] 분수 계수열 [ 편집 ] 연분수 계수열
π
=
4
1
+
1
2
2
+
3
2
2
+
5
2
2
+
7
2
2
+
9
2
2
+
⋱
=
4
1
+
1
2
3
+
2
2
5
+
3
2
7
+
4
2
9
+
⋱
{\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
π
4
=
97
+
1
2
+
1
2
+
1
3
+
1
1
+
1
16539
+
…
{\displaystyle \pi ^{4}=97+\textstyle {\frac {1}{2+\textstyle {\frac {1}{2+\textstyle {\frac {1}{3+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{16539+\dots }}}}}}}}}}}
4
π
=
1
+
1
3
+
4
5
+
9
7
+
16
9
+
25
11
+
36
13
+
49
⋱
{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{11+{\cfrac {36}{13+{\cfrac {49}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
π
=
3
+
1
7
+
1
15
+
1
1
+
1
292
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
3
+
1
1
+
1
14
+
⋯
{\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{2+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{3+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{14+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
분수 계수열
분수계
연분수행렬
근사치
근사치이후 소수점 표시
오차율
p
0
q
0
{\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}}
[
3
]
{\displaystyle [3]}
3
1
{\displaystyle {\frac {3}{1}}}
3
,
0
{\displaystyle 3{,}{\color {red}0}}
− 141,59 km
p
1
q
1
{\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}}
[
3
;
7
]
{\displaystyle [3;7]}
22
7
{\displaystyle {\frac {22}{7}}}
3
,
14
2
85
…
{\displaystyle 3{,}14{\color {red}2\;85\;\ldots }}
+ 1,26 km
p
2
q
2
{\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}}
[
3
;
7
,
15
]
{\displaystyle [3;7,15]}
333
106
{\displaystyle {\frac {333}{106}}}
3,141
5
09
4
…
{\displaystyle 3{,}141\;5{\color {red}09\;4\ldots }}
− 83,22 m
p
3
q
3
{\displaystyle {\frac {p_{3}}{q_{3}}}}
[
3
;
7
,
15
,
1
]
{\displaystyle [3;7,15,1]}
355
113
{\displaystyle {\frac {355}{113}}}
3,141
592
920
…
{\displaystyle 3{,}141\;592\;{\color {red}920\;\ldots }}
+ 26,68 cm
p
4
q
4
{\displaystyle {\frac {p_{4}}{q_{4}}}}
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
]
{\displaystyle [3;7,15,1,292]}
103993
33102
{\displaystyle {\frac {103993}{33102}}}
3,141
592
653
011
…
{\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;{\color {red}011\;\ldots }}
− 0,58 mm
p
5
q
5
{\displaystyle {\frac {p_{5}}{q_{5}}}}
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
1
]
{\displaystyle [3;7,15,1,292,1]}
104348
33215
{\displaystyle {\frac {104348}{33215}}}
3,141
592
653
921
…
{\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;{\color {red}921\;\ldots }}
+ 0,33 mm
⋮
{\displaystyle \vdots }
p
10
q
10
{\displaystyle {\frac {p_{10}}{q_{10}}}}
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
3
]
{\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3]}
4272943
1360120
{\displaystyle {\frac {4272943}{1360120}}}
3,141
592
653
589
389
…
{\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;{\color {red}389\;\ldots }}
−( 0,4 µm)
⋮
{\displaystyle \vdots }
p
20
q
20
{\displaystyle {\frac {p_{20}}{q_{20}}}}
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
3
,
1
,
14
,
2
,
1
,
1
,
2
,
2
,
2
,
2
,
1
]
{\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1]}
21053343141
6701487259
{\displaystyle {\frac {21053343141}{6701487259}}}
3,141
592
653
589
793
238
462
381
…
{\displaystyle 3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;{\color {red}381\;\ldots }}
− 2,6·10−16
원주율 진법변환 [ 편집 ]
원주율 수치
진법
수치
십진수
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306
6470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867
(10진수)
이진수
11.00100100001111110110101010001000100001011010001100001000110100110001001100011001100010100010111000000011011100000111
00110100010010100100000010010011100000100010001010011001111100110001110100000000100000101110111110101001100011101100010
(2진수)
삼진수
10.01021101222201021100211111022122222011120121212120012110010010122202221201201211121012101120022012021000010102201002
01111200022210222011001011101211012010100010002220212201100221222101122222121020220110201210222022012022221201212002011
(3진수)
사진수
3.021003331222202020112203002031030103012120220232000313001303101022100021032002020221213303013100002002323322212032301
03212302021101102200201321203203100010313132332111012123033031032210030123030002230022123133021133011003131033320103111
(4진수)
십육진수
3.243f6a8885a308d313198a2e03707344a4093822299f31d0082efa98ec4e6c89452821e638d01377be5466cf34e90c6cc0ac29b7c97c50dd3f84d5b5b
54709179216d5d98979fb1bd1310ba698dfb5ac2ffd72dbd01adfb7b8e1afed6a267e96ba7c9045f12c7f9924a19947b3916cf70801f2e2858efc1663692
0d871574e69a458fea3f4933d7e0d95748f728eb658718bcd5882154aee7b54a41dc25a59b59c30d5392af26013c5d1b023286085f0ca417918b8db38e
(16진수)
미해결 문제 [ 편집 ] 복소 해석학 [ 편집 ] eπi + 1 = 0오일러의 등식 ）(자연로그(e) 허수 단위(i) 원주율(π) 사이의 간명한 관계를 나타내는 등식이다.)
∑
k
=
0
n
−
1
e
2
π
i
k
/
n
=
0
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0}
겔폰트 정수
e
π
=
(
e
i
π
)
−
i
=
(
−
1
)
−
i
=
23.14069263
…
{\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots }
e
π
=
(
i
i
)
(
−
2
)
{\displaystyle e^{\pi }={(i^{i})}^{(-2)}}
1
(
i
i
)
2
{\displaystyle {{1} \over {(i^{i})^{2}}}}
(
1
4
c
n
)
−
2
1
−
n
{\displaystyle \left({{1} \over {4}}c_{n}\right)^{-2^{1-n}}}
i
i
=
(
e
i
π
2
)
i
=
e
−
π
2
=
0.207879576
…
{\displaystyle i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.207879576\ldots }
c
n
=
1
−
1
−
c
n
−
1
2
1
+
1
−
c
n
−
1
2
,
c
n
=
1
2
{\displaystyle c_{n}={{1-{\sqrt {1-c_{n-1}^{2}}}} \over {1+{\sqrt {1-c_{n-1}^{2}}}}}\;\;,\;\;c_{n}={{1} \over {\sqrt {2}}}}
허수지수표 (
(
i
1
=
i
)
,
(
i
2
=
−
1
)
,
(
i
3
=
−
i
)
,
(
i
4
=
1
)
{\displaystyle (i^{1}=i),(i^{2}=-1),(i^{3}=-i),(i^{4}=1)}
(
i
2
)
(
i
3
)
=
(
i
6
)
(
i
7
)
=
(
i
10
)
(
i
11
)
=
(
i
14
)
(
i
15
)
=
(
i
18
)
(
i
19
)
=
(
i
4
k
−
2
)
(
i
4
k
−
1
)
=
.
.
.
=
e
π
=
23.14069263
…
{\displaystyle (i^{2})^{(i^{3})}=(i^{6})^{(i^{7})}=(i^{10})^{(i^{11})}=(i^{14})^{(i^{15})}=(i^{18})^{(i^{19})}=(i^{4k-2})^{(i^{4k-1})}=...=e^{\pi }=23.14069263\ldots }
(
(
s
i
n
h
(
π
)
)
+
(
c
o
s
h
(
π
)
)
)
=
e
π
{\displaystyle ((sinh(\pi ))+(cosh(\pi )))={e}^{\pi }}
lim
s
→
0
(
∑
k
=
1
∞
i
(
4
k
−
2
)
i
(
4
k
−
3
)
k
−
s
)
=
1
2
(
(
s
i
n
h
(
π
)
)
−
(
c
o
s
h
(
π
)
)
)
=
−
e
−
Π
2
=
−
(
(
e
−
Π
)
(
2
−
1
)
)
=
−
0.021606959131886124887208868585
{\displaystyle \lim _{s\to 0}(\sum _{k=1}^{\infty }{i^{(4k-2)}}^{i^{(4k-3)}}k^{-s})={\frac {1}{2}}((sinh(\pi ))-(cosh(\pi )))=-{\frac {e^{-\Pi }}{2}}=-((e^{-\Pi })(2^{-1}))=-0.021606959131886124887208868585}
그러므로 이식을 정리하면 겔폰트 정리이다.
(
(
s
i
n
h
(
π
)
)
−
(
c
o
s
h
(
π
)
)
)
=
−
e
−
π
{\displaystyle ((sinh(\pi ))-(cosh(\pi )))={-e}^{-\pi }}
미적분식 [ 편집 ] - 이용
F
(
ω
)
=
F
{
f
}
(
ω
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω
t
d
t
{\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t}
- 적분형식
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
γ
f
(
ζ
)
ζ
−
z
d
ζ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta }
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
∫
R
2
e
−
|
x
|
2
d
x
=
π
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-|x|^{2}}\mathrm {d} x=\pi }
∫
−
∞
∞
d
x
1
+
x
2
=
2
⋅
∫
−
1
1
d
x
1
+
x
2
=
π
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=2\cdot \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=\pi }
π
=
2
∫
0
∞
sin
x
x
d
x
{\displaystyle \pi =2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x}
π
=
∫
−
1
1
d
t
1
−
t
2
{\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}}
π
=
2
∫
−
1
1
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle \pi =2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,dt}
π
=
4
∫
0
1
d
t
1
+
t
2
{\displaystyle \pi =4\int _{0}^{1}{\frac {dt}{1+t^{2}}}}
π
=
2
∫
0
1
d
t
1
−
t
2
{\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}}
삼각함수 [ 편집 ] (i sin pi+ cos pi) =
e
(
π
i
)
{\displaystyle e^{(\pi i)}}
= -1
(i sin x + cos x) =
e
(
i
x
)
{\displaystyle e^{(ix)}}
π= (2 arccos0)
π= (2 arcsin1)
π= (4 arctan1)
π= 4(arctan(1/2)+arctan(1/3))
π= 16arctan(1/5)-4arctan(1/239)
π= 16 arctan (1/5) - 4 arctan (1/239)
π= 24 arctan (1/8) + 8 arctan (1/57) + 4 arctan (1/239)
π= 20 arctan (1/7) + 8 arctan (3/79)
π= 20 arctan (1/7) + 8 arctan (3/79)
π= 4 arctan(1/2) + 4 arctan(1/5) + 4 arctan(1/8)
π= 16 arctan (1/5) - 4 arctan (1/239)
π= 24 arctan (1/8) + 8 arctan (1/57) + 4 arctan (1/239)
π= 20*arctan(1/7) + 8*arctan (3/79)
π= 24*arctan(1/8) + 8*arctan(1/57) + 4*arctan(1/239)
π= 48*arctan(1/18) + 32*arctan(1/57) - 20*arctan(1/239)
π/4= arctan (1/2) + arctan (1/8) + arctan (1/18) + arctan (13/91)
π/4= arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8)
π/4= arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8)
π/4= 3*arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)
π/4= 22*arctan(1/28)+2*arctan(1/443)-5*arctan(1/1393)-10*arctan(1/11018)
π/4= 44*arctan(1/57)+7*arctan(1/239)-12*arctan(1/682)+24*arctan(1/12943)
시그마 예시)
∑
k
=
1
3
k
=
(
1
+
2
+
3
)
,
∑
k
=
1
5
k
=
(
1
+
2
+
3
+
4
+
5
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{3}k=(1+2+3),\sum _{k=1}^{5}k=(1+2+3+4+5)}
1
+
2
+
3
+
4
+
5
⋯
+
100
⏞
a
(
k
)
=
5050
=
∑
k
=
1
n
a
(
k
)
=
a
(
1
)
+
a
(
2
)
+
a
(
3
)
+
a
(
4
)
+
a
(
5
)
+
.
.
.
+
a
(
n
)
{\displaystyle \overbrace {1+2+3+4+5\cdots +100} ^{a(k)=5050}=\sum _{k=1}^{n}a(k)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+...+a(n)}
π
=
2
∑
n
=
0
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
+
1
)
(
2
n
)
!
!
=
2
2
F
1
(
1
2
,
1
2
;
3
2
;
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}\\&=2\,{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};1{\bigr )}\end{aligned}}}
π
=
4
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
=
4
2
F
1
(
1
2
,
1
;
3
2
;
−
1
)
=
2
∑
n
=
0
∞
n
!
(
2
n
+
1
)
!
!
=
∑
n
=
0
∞
2
n
+
1
n
!
2
(
2
n
+
1
)
!
=
∑
n
=
0
∞
2
n
+
1
(
2
n
n
)
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\\&=4\,{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},1;{\tfrac {3}{2}};-1{\bigr )}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\end{aligned}}}
π=(arcsech(-1)/i)
π=(2i) arccsch(i)
π=(4arccoth(-i)/i)
π
cot
(
π
z
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
1
z
+
n
=
1
z
+
∑
n
=
1
∞
(
1
z
−
n
+
1
z
+
n
)
=
1
z
+
2
z
⋅
∑
n
=
1
∞
1
z
2
−
n
2
=
z
⋅
∑
n
=
−
∞
+
∞
1
z
2
−
n
2
(
z
∈
C
∖
Z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\pi \cot(\pi z)&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z+n}}\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z-n}}+{\frac {1}{z+n}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+2z\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\\&=z\cdot \sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\end{aligned}}}
(
π
sin
(
π
z
)
)
2
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
1
(
z
−
n
)
2
(
z
∈
C
∖
Z
)
(
π
cos
(
π
z
)
)
2
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
1
(
z
−
2
n
−
1
2
)
2
(
z
∈
C
∖
{
2
n
−
1
2
:
n
∈
Z
}
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\left({\frac {\pi }{\cos(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-{\tfrac {2n-1}{2}})^{2}}}\quad \left(z\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {2n-1}{2}}\colon n\in \mathbb {Z} \right\}\right)\\\end{aligned}}}
Γ
(
z
)
⋅
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
(
z
∈
C
∖
Z
)
sin
(
π
z
)
=
π
z
∏
k
=
1
∞
(
1
−
z
2
k
2
)
(
z
∈
C
)
cos
(
π
z
)
=
∏
k
=
1
∞
(
1
−
4
z
2
(
2
k
−
1
)
2
)
(
z
∈
C
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)&={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\quad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\\sin(\pi z)&=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\cos(\pi z)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2k-1)^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}}
특수계산식 [ 편집 ] 예시
∑
k
=
1
3
k
=
(
1
+
2
+
3
)
,
∑
k
=
1
5
k
=
(
1
+
2
+
3
+
4
+
5
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{3}k=(1+2+3),\sum _{k=1}^{5}k=(1+2+3+4+5)}
1
+
2
+
3
+
4
+
5
⋯
+
100
⏞
a
(
k
)
=
5050
=
∑
k
=
1
n
a
(
k
)
=
a
(
1
)
+
a
(
2
)
+
a
(
3
)
+
a
(
4
)
+
a
(
5
)
+
.
.
.
+
a
(
n
)
{\displaystyle \overbrace {1+2+3+4+5\cdots +100} ^{a(k)=5050}=\sum _{k=1}^{n}a(k)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+a(5)+...+a(n)}
시그마 아래 부분 k=1 은 1항부터 더한다는 뜻입니다.
시그마의 윗 부분은 제 n항까지 더한다는 뜻입니다.
a(k)는 일반항을 의미합니다. 이때 시그마의 아래 부분에서 선언한 변수에 대한 일반항입니다.
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
n
+
1
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}
라이프니츠의 공식 ）
소수와 제타함수
수식
제타함수
수치
수학적 수치
2
2
2
2
−
1
∗
3
2
3
2
−
1
∗
5
2
5
2
−
1
∗
7
2
7
2
−
1
∗
11
2
11
2
−
1
.
.
.
∗
′
2
′
2
−
1
{\displaystyle {\frac {2^{2}}{{2^{2}}-1}}*{\frac {3^{2}}{{3^{2}}-1}}*{\frac {5^{2}}{{5^{2}}-1}}*{\frac {7^{2}}{{7^{2}}-1}}*{\frac {11^{2}}{{11^{2}}-1}}...*{\frac {\prime ^{2}}{{\prime ^{2}}-1}}}
∏
s
=
f
i
r
s
t
p
r
i
m
e
∞
p
r
i
m
e
p
r
i
m
e
2
=
s
2
(
p
r
i
m
e
2
−
1
)
=
(
s
2
−
1
)
)
{\displaystyle \prod _{s=firstprime}^{\infty prime}{\frac {prime^{2}=s^{2}}{(prime^{2}-1)=(s^{2}-1))}}}
ζ(2)
π
2
6
{\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{6}}}
1.64493406684822...
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+
1
4
2
+
1
5
2
+
1
6
2
+
1
7
2
+
1
8
2
+
.
.
.
+
1
∞
2
{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+...+{\frac {1}{\infty ^{2}}}}
∑
k
=
1
∞
1
k
2
{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}
ζ(2)
π
2
6
{\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{6}}}
1.64493406684822...
역감마함수 추측
∫t=0 to -1 (ln(1/t))
π
(
e
r
f
c
(
(
4
−
1
)
π
)
)
)
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}(erfc({\sqrt[{4}]{(}}{-1}){\sqrt {\pi }})))}
비에트 정리
(
1
2
)
1
2
=
1
2
{\displaystyle ({\frac {1}{2}})^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}}
수학적 수치
제곱근정리
1
2
1
2
+
1
2
1
2
1
2
+
1
2
1
2
+
1
2
1
2
⋯
=
2
π
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ={\frac {2}{\pi }}}
0.63661977236758134307...
계분수정리
(
1
2
)
1
2
×
(
(
1
2
+
1
2
)
×
(
1
2
)
1
2
)
1
2
×
(
(
1
2
+
1
2
)
×
(
(
1
2
+
1
2
)
×
(
1
2
)
1
2
)
1
2
)
1
2
.
.
.
=
2
π
{\displaystyle ({\frac {1}{2}})^{\frac {1}{2}}\times (({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})\times ({\frac {1}{2}})^{\frac {1}{2}})^{\frac {1}{2}}\times (({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})\times (({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}})\times ({\frac {1}{2}})^{\frac {1}{2}})^{\frac {1}{2}})^{\frac {1}{2}}...={\frac {2}{\pi }}}
0.63661977236758134307..
π
=
12
(
1
−
1
3
⋅
3
+
1
5
⋅
3
2
−
1
7
⋅
3
3
+
⋯
)
{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)}
천년기도 ）
ζ
(
2
)
=
1
1
2
+
1
2
2
+
1
3
2
+
1
4
2
+
⋯
=
π
2
6
{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
1735년 ：오일러,바젤 문제,제타 함수) ）수식 (∑s=1 to ∞ (1/s)^2)
π
2
6
=
∑
n
=
1
∞
1
n
2
2
n
−
1
+
(
log
2
)
2
{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{n^{2}}2^{n-1}}}+(\log 2)^{2}}
오일러 ）
ζ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
−
1
B
2
n
(
2
n
)
!
π
2
n
(
n
∈
N
)
{\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}}\pi ^{2n}\ (n\in \mathbb {N} )}
Bn 하베르누이수 ）
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯
=
π
2
{\displaystyle {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
ζ
(
4
)
=
1
1
4
+
1
2
4
+
1
3
4
+
1
4
4
+
⋯
=
π
4
90
{\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
π
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
(
2
4
n
+
1
+
2
4
n
+
2
+
1
4
n
+
3
)
{\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}}}\left({\frac {2}{4n+1}}+{\frac {2}{4n+2}}+{\frac {1}{4n+3}}\right)}
π
=
∑
n
=
0
∞
1
2
4
n
(
2
2
8
n
+
1
−
2
8
n
+
4
−
1
8
n
+
5
−
1
8
n
+
6
)
{\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left({\frac {2^{2}}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)}
π
=
1
2
6
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
2
10
n
(
−
2
5
4
n
+
1
−
1
4
n
+
3
+
2
8
10
n
+
1
−
2
6
10
n
+
3
−
2
2
10
n
+
5
−
2
2
10
n
+
7
+
1
10
n
+
9
)
{\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
−
3
)
!
!
(
2
n
)
!
!
)
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}}
（윌리스 ）
1
π
=
2
2
9801
∑
k
=
0
∞
(
4
k
)
!
(
1103
+
26390
k
)
(
k
!
)
4
396
4
k
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}
1
π
=
12
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
6
k
)
!
(
13591409
+
545140134
k
)
(
3
k
)
!
(
k
!
)
3
640320
3
k
+
3
/
2
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}
π
=
426880
10005
{
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
6
n
)
!
(
13591409
+
545140134
n
)
(
3
n
)
!
n
!
3
×
640320
3
n
}
−
1
{\displaystyle \pi =426880{\sqrt {10005}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(6n)!(13591409+545140134n)}{(3n)!n!^{3}\times 640320^{3n}}}\right\}^{-1}}
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋅
…
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots }
1
π
=
12
640320
3
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
6
n
)
!
(
13591409
+
545140134
n
)
(
3
n
)
!
n
!
3
×
640320
3
n
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{\sqrt {640320^{3}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(6n)!(13591409+545140134n)}{(3n)!n!^{3}\times 640320^{3n}}}}
∑
k
=
1
n
ϕ
(
k
)
∼
3
n
2
π
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\phi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}}
φ (k )오일러의 φ 함수 ）
n
!
∼
2
π
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
스탈링의 근사 。f (n ) ∼ g (n )
lim
n
→
∞
f
(
n
)
/
g
(
n
)
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(n)/g(n)=1}
lim
n
→
∞
2
(
4
n
+
1
)
(
n
!
)
4
(
2
n
)
!
(
2
n
+
1
)
!
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {2^{(4n+1)}(n!)^{4}}{(2n)!(2n+1)!}}=\pi }
1
π
=
2
2
99
2
∑
n
=
0
∞
(
4
n
)
!
(
1103
+
26390
n
)
(
4
n
99
n
n
!
)
4
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1103+26390n)}{(4^{n}99^{n}n!)^{4}}}}
4
π
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
4
n
)
!
(
1123
+
21460
n
)
882
2
n
+
1
(
4
n
n
!
)
4
{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}}
라마누잔 ）
π
=
lim
m
→
∞
(
m
!
)
4
2
4
m
[
(
2
m
)
!
]
2
m
{\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}}
π
=
6
lim
n
→
∞
∏
k
=
1
p
k
∈
P
n
(
1
−
1
p
k
2
)
→
{\displaystyle \pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to }
π
=
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
2
+
2
+
⋯
+
2
,
{\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}}}},}
n
{\displaystyle n}
계차수열 [ 편집 ] 계차수열
∏
k
=
1
3
k
=
1
×
2
×
3
=
3
!
{\displaystyle \prod _{k=1}^{3}k=1\times 2\times 3=3!}
∏
k
=
1
5
k
=
1
×
2
×
3
×
4
×
5
=
5
!
{\displaystyle \prod _{k=1}^{5}k=1\times 2\times 3\times 4\times 5=5!}
∏
k
=
1
∞
(
(
e
r
f
(
π
)
)
(
e
r
f
(
∞
)
)
)
(
1
(
k
2
)
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }({\frac {(erf(\pi ))}{(erf(\infty ))}})^{\left({\frac {1}{(k^{2})}}\right)}}
e
r
f
(
π
)
π
2
6
{\displaystyle erf(\pi )^{\frac {\pi ^{2}}{6}}}
∏
k
=
0
∞
π
(
1
k
!
)
=
π
e
{\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }\pi ^{^{\left({\frac {1}{k!}}\right)}}=\pi ^{e}}
∏
k
=
0
∞
(
(
−
1
2
)
!
)
2
(
(
1
k
!
)
)
=
π
e
{\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{(\left(-{\frac {1}{2}}\right)!)^{2}}^{(\left({\frac {1}{k!}}\right))}=\pi ^{e}}
∏
k
=
0
∞
(
Γ
(
(
1
2
)
)
)
2
(
1
k
!
)
=
π
e
{\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{(\Gamma (\left({\frac {1}{2}}\right)))^{2}}^{\left({\frac {1}{k!}}\right)}=\pi ^{e}}
(테일러급수 확장)
∏
k
=
1
∞
(
π
)
(
1
k
2
)
=
(
π
)
π
2
6
{\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(\pi )^{({\frac {1}{k^{2}}})}=(\pi )^{\frac {\pi ^{2}}{6}}}
p
r
i
m
e
=
p
(
2
,
3
,
5
,
7
,
…
)
{\displaystyle prime=p{\bigl (}2,3,5,7,\dots {\bigr )}}
π
2
6
=
∏
k
=
1
∞
p
k
2
p
k
2
−
1
=
2
2
2
2
−
1
⋅
3
2
3
2
−
1
⋅
5
2
5
2
−
1
⋅
7
2
7
2
−
1
⋅
…
=
4
3
⋅
9
8
⋅
25
24
⋅
49
48
⋅
…
π
4
90
=
∏
k
=
1
∞
p
k
4
p
k
4
−
1
=
2
4
2
4
−
1
⋅
3
4
3
4
−
1
⋅
5
4
5
4
−
1
⋅
7
4
7
4
−
1
⋅
…
=
16
15
⋅
81
80
⋅
625
624
⋅
2401
2400
⋅
…
π
8
9450
=
∏
k
=
1
∞
p
k
8
p
k
8
−
1
=
2
8
2
8
−
1
⋅
3
8
3
8
−
1
⋅
5
8
5
8
−
1
⋅
7
8
7
8
−
1
⋅
…
=
256
255
⋅
6561
6560
⋅
390625
390624
⋅
5764801
5764800
⋅
…
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\pi }^{2}}{6}}&=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{2}}{{p_{k}}^{2}-1}}&={\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\cdot {\frac {3^{2}}{3^{2}-1}}\cdot {\frac {5^{2}}{5^{2}-1}}\cdot {\frac {7^{2}}{7^{2}-1}}\cdot \;\dots &={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {9}{8}}\cdot {\frac {25}{24}}\cdot {\frac {49}{48}}\cdot \;\dots \\{\frac {{\pi }^{4}}{90}}&=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{4}}{{p_{k}}^{4}-1}}&={\frac {2^{4}}{2^{4}-1}}\cdot {\frac {3^{4}}{3^{4}-1}}\cdot {\frac {5^{4}}{5^{4}-1}}\cdot {\frac {7^{4}}{7^{4}-1}}\cdot \;\dots &={\frac {16}{15}}\cdot {\frac {81}{80}}\cdot {\frac {625}{624}}\cdot {\frac {2401}{2400}}\cdot \;\dots \\{\frac {{\pi }^{8}}{9450}}&=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{8}}{{p_{k}}^{8}-1}}&={\frac {2^{8}}{2^{8}-1}}\cdot {\frac {3^{8}}{3^{8}-1}}\cdot {\frac {5^{8}}{5^{8}-1}}\cdot {\frac {7^{8}}{7^{8}-1}}\cdot \;\dots &={\frac {256}{255}}\cdot {\frac {6561}{6560}}\cdot {\frac {390625}{390624}}\cdot {\frac {5764801}{5764800}}\cdot \;\dots \\\end{aligned}}}
∏
k
=
1
∞
(
1
+
1
k
2
)
=
e
π
−
e
−
π
2
π
=
sinh
(
π
)
π
≈
3,676
0779103749
{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}}}\right)&={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}&={\frac {\sinh(\pi )}{\pi }}&\approx 3{,}6760779103749\\\end{aligned}}}
π
2
=
2
1
⋅
2
3
⋅
4
3
⋅
4
5
⋅
6
5
⋅
6
7
⋅
8
7
⋅
8
9
⋯
=
∏
n
=
1
∞
(
4
⋅
n
2
4
⋅
n
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}}{4\cdot n^{2}-1}}\right)}
*
π
=
4
⋅
∏
k
=
1
∞
k
2
+
k
k
2
+
k
+
1
4
{\displaystyle \pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
+
k
k
2
+
k
+
1
4
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}}}
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
8
9
{\displaystyle {\frac {8}{9}}}
24
25
{\displaystyle {\frac {24}{25}}}
48
49
{\displaystyle {\frac {48}{49}}}
80
81
{\displaystyle {\frac {80}{81}}}
120
121
{\displaystyle {\frac {120}{121}}}
168
169
{\displaystyle {\frac {168}{169}}}
224
225
{\displaystyle {\frac {224}{225}}}
288
289
{\displaystyle {\frac {288}{289}}}
288
289
{\displaystyle {\frac {288}{289}}}
360
361
{\displaystyle {\frac {360}{361}}}
............
8
9
{\displaystyle {\frac {8}{9}}}
×
{\displaystyle \times }
24
25
{\displaystyle {\frac {24}{25}}}
×
{\displaystyle \times }
48
49
{\displaystyle {\frac {48}{49}}}
×
{\displaystyle \times }
80
81
{\displaystyle {\frac {80}{81}}}
×
{\displaystyle \times }
120
121
{\displaystyle {\frac {120}{121}}}
×
{\displaystyle \times }
168
169
{\displaystyle {\frac {168}{169}}}
×
{\displaystyle \times }
224
225
{\displaystyle {\frac {224}{225}}}
×
{\displaystyle \times }
288
289
{\displaystyle {\frac {288}{289}}}
×
{\displaystyle \times }
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
*
π
=
9
2
⋅
3
2
∏
k
=
1
∞
k
2
+
k
k
2
+
k
+
2
9
{\displaystyle \pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
+
k
k
2
+
k
+
3
16
=
3
π
8
2
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16}}}}={\frac {3\pi }{8{\sqrt {2}}}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
9
10
{\displaystyle {\frac {9}{10}}}
27
28
{\displaystyle {\frac {27}{28}}}
54
55
{\displaystyle {\frac {54}{55}}}
90
91
{\displaystyle {\frac {90}{91}}}
135
136
{\displaystyle {\frac {135}{136}}}
189
190
{\displaystyle {\frac {189}{190}}}
252
253
{\displaystyle {\frac {252}{253}}}
324
325
{\displaystyle {\frac {324}{325}}}
405
406
{\displaystyle {\frac {405}{406}}}
495
496
{\displaystyle {\frac {495}{496}}}
............
9
10
{\displaystyle {\frac {9}{10}}}
×
{\displaystyle \times }
27
28
{\displaystyle {\frac {27}{28}}}
×
{\displaystyle \times }
54
55
{\displaystyle {\frac {54}{55}}}
×
{\displaystyle \times }
90
91
{\displaystyle {\frac {90}{91}}}
×
{\displaystyle \times }
135
136
{\displaystyle {\frac {135}{136}}}
×
{\displaystyle \times }
189
190
{\displaystyle {\frac {189}{190}}}
×
{\displaystyle \times }
252
253
{\displaystyle {\frac {252}{253}}}
×
{\displaystyle \times }
324
325
{\displaystyle {\frac {324}{325}}}
×
{\displaystyle \times }
3
π
8
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{8{\sqrt {2}}}}}
*
π
=
16
3
⋅
2
2
∏
k
=
1
∞
k
2
+
k
k
2
+
k
+
3
16
{\displaystyle \pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16}}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
+
k
k
2
+
k
+
2
9
=
4
π
9
3
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}={\frac {4\pi }{9{\sqrt {3}}}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
32
35
{\displaystyle {\frac {32}{35}}}
32
33
{\displaystyle {\frac {32}{33}}}
64
65
{\displaystyle {\frac {64}{65}}}
320
323
{\displaystyle {\frac {320}{323}}}
160
161
{\displaystyle {\frac {160}{161}}}
224
225
{\displaystyle {\frac {224}{225}}}
896
899
{\displaystyle {\frac {896}{899}}}
384
385
{\displaystyle {\frac {384}{385}}}
480
481
{\displaystyle {\frac {480}{481}}}
1760
1763
{\displaystyle {\frac {1760}{1763}}}
............
32
35
{\displaystyle {\frac {32}{35}}}
×
{\displaystyle \times }
32
33
{\displaystyle {\frac {32}{33}}}
×
{\displaystyle \times }
64
65
{\displaystyle {\frac {64}{65}}}
×
{\displaystyle \times }
320
323
{\displaystyle {\frac {320}{323}}}
×
{\displaystyle \times }
160
161
{\displaystyle {\frac {160}{161}}}
×
{\displaystyle \times }
224
225
{\displaystyle {\frac {224}{225}}}
×
{\displaystyle \times }
896
899
{\displaystyle {\frac {896}{899}}}
×
{\displaystyle \times }
384
385
{\displaystyle {\frac {384}{385}}}
×
{\displaystyle \times }
4
π
9
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{9{\sqrt {3}}}}}
*
π
=
3
⋅
3
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
1
3
)
2
{\displaystyle \pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
1
3
)
2
=
2
π
3
3
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {1}{3}})^{2}}}={\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
9
8
{\displaystyle {\frac {9}{8}}}
36
35
{\displaystyle {\frac {36}{35}}}
81
80
{\displaystyle {\frac {81}{80}}}
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
225
224
{\displaystyle {\frac {225}{224}}}
324
323
{\displaystyle {\frac {324}{323}}}
441
440
{\displaystyle {\frac {441}{440}}}
576
575
{\displaystyle {\frac {576}{575}}}
729
728
{\displaystyle {\frac {729}{728}}}
900
899
{\displaystyle {\frac {900}{899}}}
............
9
8
{\displaystyle {\frac {9}{8}}}
×
{\displaystyle \times }
36
35
{\displaystyle {\frac {36}{35}}}
×
{\displaystyle \times }
81
80
{\displaystyle {\frac {81}{80}}}
×
{\displaystyle \times }
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
×
{\displaystyle \times }
225
224
{\displaystyle {\frac {225}{224}}}
×
{\displaystyle \times }
324
323
{\displaystyle {\frac {324}{323}}}
×
{\displaystyle \times }
441
440
{\displaystyle {\frac {441}{440}}}
×
{\displaystyle \times }
576
575
{\displaystyle {\frac {576}{575}}}
×
{\displaystyle \times }
2
π
3
3
{\displaystyle {\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
*
π
=
4
⋅
2
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
1
4
)
2
{\displaystyle \pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
1
4
)
2
=
π
2
2
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {1}{4}})^{2}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
16
15
{\displaystyle {\frac {16}{15}}}
64
63
{\displaystyle {\frac {64}{63}}}
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
256
255
{\displaystyle {\frac {256}{255}}}
400
399
{\displaystyle {\frac {400}{399}}}
576
575
{\displaystyle {\frac {576}{575}}}
784
783
{\displaystyle {\frac {784}{783}}}
1024
1023
{\displaystyle {\frac {1024}{1023}}}
1296
1295
{\displaystyle {\frac {1296}{1295}}}
1600
1599
{\displaystyle {\frac {1600}{1599}}}
............
16
15
{\displaystyle {\frac {16}{15}}}
×
{\displaystyle \times }
64
63
{\displaystyle {\frac {64}{63}}}
×
{\displaystyle \times }
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
×
{\displaystyle \times }
256
255
{\displaystyle {\frac {256}{255}}}
×
{\displaystyle \times }
400
399
{\displaystyle {\frac {400}{399}}}
×
{\displaystyle \times }
576
575
{\displaystyle {\frac {576}{575}}}
×
{\displaystyle \times }
784
783
{\displaystyle {\frac {784}{783}}}
×
{\displaystyle \times }
1024
1023
{\displaystyle {\frac {1024}{1023}}}
×
{\displaystyle \times }
π
2
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}
*
π
=
6
⋅
1
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
1
6
)
2
{\displaystyle \pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
1
6
)
2
=
π
3
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {1}{6}})^{2}}}={\frac {\pi }{3}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
36
35
{\displaystyle {\frac {36}{35}}}
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
324
323
{\displaystyle {\frac {324}{323}}}
576
575
{\displaystyle {\frac {576}{575}}}
900
899
{\displaystyle {\frac {900}{899}}}
1296
1295
{\displaystyle {\frac {1296}{1295}}}
1764
1763
{\displaystyle {\frac {1764}{1763}}}
2304
2303
{\displaystyle {\frac {2304}{2303}}}
2916
2915
{\displaystyle {\frac {2916}{2915}}}
3600
3599
{\displaystyle {\frac {3600}{3599}}}
............
36
35
{\displaystyle {\frac {36}{35}}}
×
{\displaystyle \times }
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
×
{\displaystyle \times }
324
323
{\displaystyle {\frac {324}{323}}}
×
{\displaystyle \times }
576
575
{\displaystyle {\frac {576}{575}}}
×
{\displaystyle \times }
900
899
{\displaystyle {\frac {900}{899}}}
×
{\displaystyle \times }
1296
1295
{\displaystyle {\frac {1296}{1295}}}
×
{\displaystyle \times }
1764
1763
{\displaystyle {\frac {1764}{1763}}}
×
{\displaystyle \times }
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
*
π
=
3
2
⋅
3
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
2
3
)
2
{\displaystyle \pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
2
3
)
2
=
4
π
3
3
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {2}{3}})^{2}}}={\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
9
5
{\displaystyle {\frac {9}{5}}}
9
8
{\displaystyle {\frac {9}{8}}}
81
77
{\displaystyle {\frac {81}{77}}}
36
35
{\displaystyle {\frac {36}{35}}}
255
221
{\displaystyle {\frac {255}{221}}}
81
80
{\displaystyle {\frac {81}{80}}}
441
437
{\displaystyle {\frac {441}{437}}}
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
729
725
{\displaystyle {\frac {729}{725}}}
225
224
{\displaystyle {\frac {225}{224}}}
............
9
5
{\displaystyle {\frac {9}{5}}}
×
{\displaystyle \times }
9
8
{\displaystyle {\frac {9}{8}}}
×
{\displaystyle \times }
81
77
{\displaystyle {\frac {81}{77}}}
×
{\displaystyle \times }
36
35
{\displaystyle {\frac {36}{35}}}
×
{\displaystyle \times }
255
221
{\displaystyle {\frac {255}{221}}}
×
{\displaystyle \times }
81
80
{\displaystyle {\frac {81}{80}}}
×
{\displaystyle \times }
441
437
{\displaystyle {\frac {441}{437}}}
×
{\displaystyle \times }
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
×
{\displaystyle \times }
4
π
3
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
*
π
=
4
3
⋅
2
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
3
4
)
2
{\displaystyle \pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
3
4
)
2
=
3
π
2
2
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {3}{4}})^{2}}}={\frac {3\pi }{2{\sqrt {2}}}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
16
7
{\displaystyle {\frac {16}{7}}}
64
55
{\displaystyle {\frac {64}{55}}}
16
15
{\displaystyle {\frac {16}{15}}}
256
247
{\displaystyle {\frac {256}{247}}}
400
391
{\displaystyle {\frac {400}{391}}}
64
63
{\displaystyle {\frac {64}{63}}}
784
775
{\displaystyle {\frac {784}{775}}}
1024
1015
{\displaystyle {\frac {1024}{1015}}}
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
1600
1591
{\displaystyle {\frac {1600}{1591}}}
............
16
7
{\displaystyle {\frac {16}{7}}}
×
{\displaystyle \times }
64
55
{\displaystyle {\frac {64}{55}}}
×
{\displaystyle \times }
16
15
{\displaystyle {\frac {16}{15}}}
×
{\displaystyle \times }
256
247
{\displaystyle {\frac {256}{247}}}
×
{\displaystyle \times }
400
391
{\displaystyle {\frac {400}{391}}}
×
{\displaystyle \times }
64
63
{\displaystyle {\frac {64}{63}}}
×
{\displaystyle \times }
784
775
{\displaystyle {\frac {784}{775}}}
×
{\displaystyle \times }
1024
1015
{\displaystyle {\frac {1024}{1015}}}
×
{\displaystyle \times }
3
π
2
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2{\sqrt {2}}}}}
*
π
=
6
5
⋅
1
2
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
5
6
)
2
{\displaystyle \pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}}
계차수열
∏
k
=
1
∞
k
2
k
2
−
(
5
6
)
2
=
5
π
3
{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-({\frac {5}{6}})^{2}}}={\frac {5\pi }{3}}}
k=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
연속곱...
연속곱
곱
36
11
{\displaystyle {\frac {36}{11}}}
144
119
{\displaystyle {\frac {144}{119}}}
324
299
{\displaystyle {\frac {324}{299}}}
576
551
{\displaystyle {\frac {576}{551}}}
36
35
{\displaystyle {\frac {36}{35}}}
1296
1271
{\displaystyle {\frac {1296}{1271}}}
1764
1739
{\displaystyle {\frac {1764}{1739}}}
2304
2279
{\displaystyle {\frac {2304}{2279}}}
2916
2891
{\displaystyle {\frac {2916}{2891}}}
144
143
{\displaystyle {\frac {144}{143}}}
.....
36
11
{\displaystyle {\frac {36}{11}}}
×
{\displaystyle \times }
144
119
{\displaystyle {\frac {144}{119}}}
×
{\displaystyle \times }
324
299
{\displaystyle {\frac {324}{299}}}
×
{\displaystyle \times }
576
551
{\displaystyle {\frac {576}{551}}}
×
{\displaystyle \times }
36
35
{\displaystyle {\frac {36}{35}}}
×
{\displaystyle \times }
1296
1271
{\displaystyle {\frac {1296}{1271}}}
×
{\displaystyle \times }
1764
1739
{\displaystyle {\frac {1764}{1739}}}
×
{\displaystyle \times }
2304
2279
{\displaystyle {\frac {2304}{2279}}}
×
{\displaystyle \times }
5
π
3
{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}
다각형의 몫공간 [ 편집 ] 직사각형 의 한 쌍의 대변을 직사각형의 둘레를 따라 회전하는 방향을 기준으로 반대 방향을 따라 붙여 몫공간을 취하면 원기둥 을 얻으며, 같은 방향을 따라 붙이면 뫼비우스의 띠 를 얻는다.
그림1
그림2
몫공간
원기둥
D
¯
2
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{2}\times [0,1]}
뫼비우스의 띠
M
{\displaystyle \operatorname {M} }
만약 어떤 위상 공간 이 변의 수가 짝수인 다각형의 변을 둘씩 짝을 지어 붙여 만든 몫공간과 위상 동형 이라면, 이 다각형과 동치 관계 의 순서쌍을 위상 공간의 다각형 표시 (多角形表示, 영어 : polygonal presentation )이라고 한다. 변의 수가
2
n
{\displaystyle 2n}
2
n
{\displaystyle 2n}
α
∈
{
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
,
a
1
−
1
,
a
2
−
2
,
…
,
a
n
−
1
}
2
n
{\displaystyle \alpha \in \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},a_{1}^{-1},a_{2}^{-2},\dots ,a_{n}^{-1}\}^{2n}}
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}
α
{\displaystyle \alpha }
a
i
{\displaystyle a_{i}}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
a
i
−
1
{\displaystyle a_{i}^{-1}}
α
i
=
α
j
{\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{j}}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
α
j
=
α
i
−
1
{\displaystyle \alpha _{j}=\alpha _{i}^{-1}}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
다각형 표시 그림
다각형 표시
몫공간 그림
몫공간
a
b
b
−
1
a
−
1
{\displaystyle abb^{-1}a^{-1}}
구
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
a
b
a
b
{\displaystyle abab}
실수 사영 평면
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}
a
b
a
b
−
1
{\displaystyle abab^{-1}}
클라인 병
R
P
2
#
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\#\mathbb {RP} ^{2}}
a
b
a
−
1
b
−
1
{\displaystyle aba^{-1}b^{-1}}
원환면
T
2
=
S
1
×
S
1
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}
같이 보기 [ 편집 ] 내용주 [ 편집 ]
참조주 [ 편집 ]
↑ 다음의 Eric W.Weisstein의 문서는 각 수들에 대한 설명이다. π: [1] , e: [2] , 킨친 상수: [3] , 무리수: [4] , 초월수 [5] , 무리성 측도: [6] , Wolfram MathWorld , 2021년 10월 11일 확인.
↑ Michel Waldschmidt, 2008, "An introduction to irrationality and transcendence methods," at The University of Arizona The Southwest Center for Arithmetic Geometry 2008 Arizona Winter School, March 15–19, 2008 (Special Functions and Transcendence), [7] , 2021년 10월 11일 확인.
↑ John Albert, posting date unknown, "Some unsolved problems in number theory" [from Victor Klee & Stan Wagon, "Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory"], in University of Oklahoma Math 4513 course materials, [8] , 2021년 10월 11일 확인.
↑ Thiele, Rüdiger (2005), 〈On Hilbert and his twenty-four problems〉, Van Brummelen, Glen, 《Mathematics and the historian's craft. The Kenneth O. May Lectures》, CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21 , 243–295쪽, ISBN 978-0-387-25284-1 ↑ Guy, Richard (1994), 《Unsolved Problems in Number Theory》 2판, Springer, vii쪽, ISBN 978-1-4899-3585-4 , 2021년 10월 14일에 확인함 ↑ Shimura, G. (1989). “Yutaka Taniyama and his time” . 《Bulletin of the London Mathematical Society》 21 (2): 186–196. doi :10.1112/blms/21.2.186 . 2021년 10월 14일에 확인함 . ↑ “Archived copy” (PDF) . 2021년 10월 14일에 확인함 . ↑ “THREE DIMENSIONAL MANIFOLDS, KLEINIAN GROUPS AND HYPERBOLIC GEOMETRY” (PDF) . 2021년 10월 14일에 확인함 . ↑ “Millennium Problems” . 2021년 10월 14일에 확인함 . ↑ Bellos, Alex (2014년 8월 13일). “Fields Medals 2014: the maths of Avila, Bhargava, Hairer and Mirzakhani explained” . 《가디언 》. 2021년 10월 14일에 확인함 . ↑ Abe, Jair Minoro; Tanaka, Shotaro (2001). 《Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century》 . IOS Press. ISBN 978-9051994902 ↑ “DARPA invests in math” . CNN . 2008년 10월 14일. 2021년 10월 14일에 확인함 . ↑ “Broad Agency Announcement (BAA 07-68) for Defense Sciences Office (DSO)” . DARPA. 2007년 9월 10일. 2021년 10월 14일에 확인함 . ↑ 송은영, 재미있는 수학상식, 맑은창, 2007, ISBN 89-86607-59-X , 126-133 쪽
↑ Pickover, Clifford A. (2005). A passion for mathematics: numbers, puzzles, madness, religion, and the quest for reality . John Wiley and Sons. p. 52. ISBN 0-471-69098-8 ., Extract of page 52
↑ 나카다 노리오, 황소연 역, 피라미드에서 수학을 배우자 (수학의 도레미 3), 이지북, 2001년, ISBN 89-89422-62-0 , 160-161쪽
↑ Lange, L. J. (May 1999). "An Elegant Continued Fraction for π" . The American Mathematical Monthly 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152
계산식 모음 출처 :일본원주율 위키백과 ,러시아 원주율 위키백과,독일 원주율 위키백과 , 공학계산기 울프럼알파
외부 링크 [ 편집 ]
정수 허수
i (
i
{\displaystyle i}
초월수
π e (
e
{\displaystyle e}
무리수 기타
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![{\displaystyle [3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f671027d56f9c24d65c03a4a26eb0d3b933f4f15)
![{\displaystyle [3;7]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b143dda8c65c1ca85c41576c4c8a3d8f5df6407e)
![{\displaystyle [3;7,15]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5de106dfde7219a2e61f44226a648013e756f01)
![{\displaystyle [3;7,15,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6690573890eb8baceba1aa850998652677db2ad)
![{\displaystyle [3;7,15,1,292]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035629dce1f7b9ef6e2272ca0d981681f81fcf06)
![{\displaystyle [3;7,15,1,292,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd5fc7190b3224146b644aa8954508d7af79efa)
![{\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099eebe5d3e89f248a4775a63396dfef1a4a4cf0)
![{\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda68b82adda1e0c90529a1f264b39e140702bd2)
.jpg)
![{\displaystyle {\sqrt {\pi }}(erfc({\sqrt[{4}]{(}}{-1}){\sqrt {\pi }})))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41c670328614099e25b94cd3bfbd51ffb79a086)
![{\displaystyle \pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a427496d43d36660b1a338b6e4cc6e8a6f0c2e)
![{\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{2}\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293ddcb92d5ad1306dbd0d413ec4ce03b9b20a6f)
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