리만 다양체

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미분기하학에서, 리만 다양체(Riemann多樣體, 영어: Riemannian manifold)는 각 점의 접공간 위에 양의 정부호 쌍선형 형식이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체이다. 이 구조를 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 평행 운송 · 각도 · 길이 · 부피 · 곡률 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 미분기하학의 분야를 리만 기하학(Riemann幾何學, 영어: Riemannian geometry)이라고 한다.

정의[편집]

차원 매끄러운 다양체 위에 공변접다발 의 2차 대칭승 벡터 다발을 생각하자. 이는 위의 차원 벡터 다발이다.

매끄러운 단면의 각 점 에서의 접공간 위에 쌍선형 형식을 정의한다. 이므로, 매끄러운 단면 위의 (0,2)-텐서장 (매끄러운 단면)으로 생각할 수 있다.

위의, 매끄러운 단면 가 다음 조건을 만족시킨다면, 위의 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 한다.

  • (양의 정부호성) 임의의 에 대하여, 만약 이라면

리만 계량을 갖춘 매끄러운 다양체 리만 다양체라고 한다.

두 리만 다양체 , 사이의 등거리 변환(영어: isometric map)은 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 함수 이다.

  • 임의의 에 대하여,

여기서 에 대한 이다.

성질[편집]

모든 매끄러운 다양체에는 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다. 물론, 이는 표준적이지 않다.

유클리드 공간으로의 매장[편집]

내시 매장 정리(영어: Nash embedding theorem)에 따라, 모든 연결 리만 다양체는 충분히 높은 차원의 유클리드 공간 으로의 등거리 매장을 갖는다. 즉, 리만 다양체는 내재적으로 정의하는 대신 항상 외재적으로 유클리드 공간의 부분 공간으로 여길 수 있다. 물론, 리만 다양체 자체의 데이터는 유클리드 공간으로의 매장을 포함하지 않는다.

거리[편집]

연결 리만 다양체 위에는 자연스럽게 거리 공간의 구조가 주어진다. [모든 (하우스도르프 파라콤팩트) 다양체거리화 가능 공간이지만, 리만 계량과 같은 구조가 없다면 거리 함수를 표준적으로 정의할 수 없다.]

구체적으로, 연결 리만 다양체 위의 매끄러운 곡선

길이는 다음과 같다.

곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 매끄러운 함수 에 대하여, 이다.

임의의 두 점 사이의 거리(영어: distance)는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다.

이는 거리 함수의 조건들을 모두 만족시킴을 보일 수 있으며, 추가로 길이 거리 공간을 이룬다.

연결 공간이 아닌 리만 다양체의 경우, 각 연결 성분 위에 (유한한) 거리를 정의할 수 있지만, 서로 다른 연결 성분 위에 있는 두 점 사이의 거리는 무한대가 된다.

리만 기하학에서는 다음과 같은 하이네-보렐 정리가 성립한다. 연결 리만 다양체 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

레비치비타 접속[편집]

리만 계량을 사용하여, 접다발 위에 레비치비타 접속이라는 아핀 접속을 정의할 수 있다. 이는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 접속이다.

리만 다양체의 리만 곡률은 레비치비타 접속의 곡률이다. 리만 곡률 텐서장을 축약하여 리치 곡률 · 바일 곡률 · 스칼라 곡률 · 아인슈타인 텐서를 정의할 수 있다.

측지선[편집]

리만 다양체 위에는 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 (매개 변수화를 무시하면) 국소적으로 두 점 사이의 거리를 최소화하는 곡선이다.

다음 조건을 만족시키는 리만 다양체 완비 리만 다양체(完備Riemann多樣體, 영어: complete Riemannian manifold)라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 이며 이며 모든 에 대하여 인 측지선 이 존재한다.

즉, 측 완비 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 완비 리만 다양체가 아니다.

호프-리노프 정리(Hopf-Rinow定理, 영어: Hopf–Rinow theorem)에 따르면, 연결 리만 다양체 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

연결 리만 다양체 가 다음 조건을 만족시킨다면, 확장 가능 다양체(擴張可能多樣體, 영어: extendable Riemannian manifold)라고 한다.

다음 두 조건을 만족시키는 리만 다양체 및 등거리 매장 이 존재한다.
  • 열린집합이다.
  • 이다.

확장 불가능 다양체(擴張不可能多樣體, 영어: non-extendable manifold)는 확장 가능 다양체가 아닌 연결 리만 다양체이다.

모든 완비 리만 다양체는 확장 불가능 다양체이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

[편집]

유클리드 공간 · 초구 · 원환면 은 모두 리만 다양체를 이룬다.

반단순 리 군의 경우, 킬링 형식양의 정부호이므로 리만 계량을 이룬다. 따라서 반단순 리 군의 경우 표준적으로 리만 다양체를 이룬다.

리만 다양체 과 그 속의 몰입된 부분 다양체 가 주어졌다면, 위에 리만 계량을 다음과 같이 정의할 수 있다.

여기서 이다. 따라서 은 리만 다양체를 이룬다.

확장 불가능 완비 다양체[편집]

3차원 공간 속에, 다음과 같은 꼭짓점을 제거한 원뿔을 생각하자.

이는 확장 불가능 리만 다양체를 이룬다. (꼭짓점을 추가하면 특이점이 생기게 되어 리만 다양체를 이루지 못한다.) 그러나 이는 완비 다양체가 아니다. 꼭짓점을 향하는 측지선은 유한한 시간 안에 꼭짓점에 도달하여, 더 이상 연장할 수 없게 된다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]