카스너 계량

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그림 1. 구형 좌표계에서 특이점을 향한 카스너 메트릭 eq. 2 의 동역학. Lifshitz-Khalatnikov 매개변수는 u =2 (1/ u =0.5)이고 r 좌표는 2 p α (1/ u )τ인데 여기서 τ는 로그 시간 즉 τ = ln t이다.[1] 축을 따라 축소되는 현상은 선형적이고 균일하다(혼돈 없음).

카스너 계량(영어: Kasner metric)은 알베르트 아인슈타인일반 상대성 이론에 대한 엄밀 해의 하나로 물질이 없는(즉, 진공 해이다) 이방성 우주를 기술한다. 1921년 미국 수학자 에드워드 카스너에 의하여 개발되어 그의 이름을 따서 명명되었다.[2] 이 해는 인 어떤 시공간 차원에서도 기술될 수 있으며 중력 혼돈 연구와 강한 연관성을 가지고 있다.

계량 및 조건[편집]

차원 인 시공간에서 카스너 계량은,

으로 카스너 지수라고 불리는 상수 개 포함되어 있다. 카스너 계량은 등시간 조각이 공간적으로 평평한 시공간을 기술하는데, 이 공간은 서로 따른 방향으로 값에 따라 서로 다른 비율로 확장하거나 수축한다. 이 계량에서 공변좌표 만큼 차이가 나는 시험 입자는 의 물리적 거리만큼 떨어져 있다.

카스너 계량은 카스너 지수가 다음의 카스너 조건을 만족할 때 진공에서 아인슈타인 등식의 엄밀해의 하나이다.

첫 번째 조건은 카스너 평면이라는 평면을 정의하고, 두 번째 조건은 구의 일종은 카스너 를 설명한다. 따라서 두 조건을 충족하는 해(즉 의 선택)는 두 조건이 교차하는 구(때때로 혼란스럽게도 이것도 카스너 구로 불린다) 상에 있다. 차원의 시공간에서 해의 공간은 차원의 구 상에 존재한다.

특징[편집]

카스너 해에는 눈에 띄고 특이한 몇 가지 특징이 있다. 즉,

  • 공간 조각의 부피는 항상 인데, 이는 그 양이 에 비례하고, 또한
이기 때문인데 여기서 우리는 첫 번째 카스너 조건을 사용했다. 따라서 그러므로 일 때 의 방향에 따라서,빅뱅 또는 빅 크런치를 설명할 수 있다.
  • 공간의 등방성 확장이나 수축은 허용되지 않는다. 공간 조각이 등방성으로 확장되는 경우 모든 카스너 지수는 동일해야 하고 따라서 첫번째 카스너 조건을 만족시키기 위해서 가 된다. 하지만 이때는 두 번째 카스너 조건이 충족될 수 없는데, 이는
이기 때문이다.
이와 대조적으로 우주론 에서 사용되는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량은 물질의 존재로 인해 등방성으로 팽창하거나 수축할 수 있다.
  • 조금 더 계산하면, 하나의 이고 나머지는 0이 되는 해가 적어도 아니라면, 최소한 하나의 카스너 지수가 항상 음수라는 것을 보여줄 수 있다. 우리가 시간 좌표 가 0에서 증가한다고 가정하자. 그렇다면 이는 공간의 부피가 ,와 같이 증가할 때에, 적어도 하나의 방향(음의 카스너 지수에 해당)은 실제로 '수축'하고 있다는 것을 의미한다.
  • 카스너 계량이 진공 아인슈타인 방정식에 대한 해이므로, 리치 텐서는 카스너 조건을 충족하는 어떤 지수에 대해서도 항상 소멸한다. 전체 리만 텐서는 하나의 이고 나머지에 대해서는 소멸하고, 이 경우 공간은 평평해진다. 민코프스키 계량은 좌표 변환 을 통해 찾을 수 있다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. The expression for r is derived by logarithming the power coefficients in the metric: ln [t2pα(1/u)] = 2pα(1/u) ln t.
  2. Kasner, E. "Geometrical theorems on Einstein’s cosmological equations." Am. J. Math. 43, 217–221 (1921).

참고 문헌[편집]