ADM 형식

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아노윗-데세르-미스너 수식 체계(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, 영어: Arnowitt–Deser–Misner formalism, 약자 ADM 수식 체계)는 일반 상대성 이론해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다.[1][2][3][4][5][6] 시공간에 공간적 엽층을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 일반화 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량 껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약을 준다.

전개[편집]

그리스 문자 첨자 차원 시공간을, 로마자 첨자 차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다. 편의상 로 놓자.

계량 텐서의 분해[편집]

차원에서, 일반 상대성 이론의 동적 변수는 대칭 텐서인 계량 텐서 개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 미분 동형 사상게이지 대칭으로 가지며, 이는 (국소적으로) 와 같은 꼴이므로, 의 성분 가운데 개는 게이지 변환을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데

개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.[2]:(3.9a), (3.10), (3.11a), (3.11b)

여기서 보조장 는 각각 경과장(經過場, 영어: lapse 랩스[*]) 및 이동장(移動場, 영어: shift 시프트[*])이라고 불린다. 역행렬이다(특히, 의 역행렬의 성분이 아니다). 의 역행렬의 한 성분이다.

이 경우, 차원 계량 텐서의 행렬식은 다음과 같다.[2]:(3.12)

즉, 경과장 차원 계량으로 측정한 차원 초부피 원소(야코비 행렬식)와 차원 계량으로 측정한 차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다.

이러한 분해는 전자기 퍼텐셜 의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 가 게이지 변환에 의하여 라그랑주 승수 보조장이 되는 것처럼, 역시 마찬가지 역할을 한다.

운동량과 작용[편집]

일반 상대성 이론아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다.

여기서 계량 텐서, 로 계산한 리치 스칼라다.

이제 편의상 인 경우만을 생각하자. 에 대한 일반화 운동량 를 계산하면 다음과 같다.

에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다.

여기서

이다. 즉 라그랑주 승수가 되며, 그 운동 방정식에 따라 이다.

성질[편집]

운동 방정식[편집]

에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

이들은 위상 공간의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분 동형 사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다.

위상 공간[편집]

일반적으로, 차원 시공간 에서, ADM 수식 체계에 의한, 일반 상대성 이론위상 공간 위의 매끄러운 올다발매끄러운 단면의 공간이다. 이 올다발의 올의 차원은 이다.[7]:§2 이는 다음과 같이 얻어진다.

설명 성분
계량 텐서 및 그 일반화 운동량
에너지 제약 및 그 게이지 조건 −2
운동량 제약 및 그 게이지 조건

역사[편집]

아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진

리처드 루이스 아노윗(영어: Richard Lewis Arnowitt, 1928~2014) · 스탠리 데세르(폴란드어: Stanley Deser, 1931~) · 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.[8][9][10][11][12][13][14][15][16][17]

참고 문헌[편집]

  1. Deser, Stanley (2008). “Arnowitt–Deser–Misner formalism”. 《Scholarpedia》 (영어) 3 (10): 7533. ISSN 1941-6016. doi:10.4249/scholarpedia.7533. 
  2. Arnowitt, Richard; Stanley Deser, Charles W. Misner (2008년 9월). “Republication of: The dynamics of general relativity”. 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 40 (9): 1997–2027. Bibcode:2008GReGr..40.1997A. ISSN 0001-7701. arXiv:gr-qc/0405109. doi:10.1007/s10714-008-0661-1. 
  3. Франке, Валентин Альфредович (2006). “Разные канонические формулировки теории гравитации Эйнштейна”. 《Теоретическая и Математическая Физика》 (러시아어) 148 (1): 143–160. ISSN 0564-6162. MR 2283655. doi:10.4213/tmf2065.  영역 Franke, Valentin Alfredovich (2006년 7월). “Different canonical formulations of Einstein’s theory of gravity”. 《Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 148 (1): 995–1010. Bibcode:2006TMP...148..995F. ISSN 0040-5779. Zbl 1177.83021. arXiv:0710.4953. doi:10.1007/s11232-006-0096-3. 
  4. Peldán, Peter (1994년 5월). “Actions for gravity, with generalizations: a review”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 11 (5): 1087–1132. Bibcode:1994CQGra..11.1087P. ISSN 0264-9381. arXiv:gr-qc/9305011. doi:10.1088/0264-9381/11/5/003. 
  5. Nelson, J. E. (2006). 〈Some applications of the ADM formalism〉. Liu, James T.; Duff, Michael J.; Stelle, Kellogg S.; Woodard, Richard P. 《Deserfest: a celebration of the life and works of Stanley Deser》 (영어). World Scientific. 193–206쪽. Bibcode:2004gr.qc.....8083N. ISBN 981-256-082-3. arXiv:gr-qc/0408083. 
  6. Dengiz, Suat (2011). 《3+1 orthogonal and conformal decomposition of the Einstein equation and the ADM formalism for general relativity》 (영어). 석사 학위 논문. 중동 공과대학교. Bibcode:2011arXiv1103.1220D. arXiv:1103.1220. 
  7. Berman; Perry. “Generalized geometry and M theory” (영어). arXiv:1008.1763. 
  8. Pullin, Jorge (2008년 9월). “Editorial note to R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner, “The dynamics of general relativity””. 《General Relativity and Gravitation》 (영어) 40 (9): 1989–1995. Bibcode:2008GReGr..40.1989P. ISSN 0001-7701. doi:10.1007/s10714-008-0649-x. 
  9. Arnowitt, R.; Deser, Stanley (1959). “Quantum theory of gravitation: general formulation and linearized theory”. 《Physical Review》 113 (2): 745–750. Bibcode:1959PhRv..113..745A. doi:10.1103/PhysRev.113.745. 
  10. Arnowitt, R. L.; Deser, Stanley; Misner, C. (1959). “Dynamical structure and definition of energy in general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 116 (5): 1322–1330. 
  11. Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Canonical variables for general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 117 (6): 1595–1602. Bibcode:1960PhRv..117.1595A. doi:10.1103/PhysRev.117.1595. 
  12. Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Finite self-energy of classical point particles”. 《Physical Review Letters》 (영어) 4 (7): 375–377. Bibcode:1960PhRvL...4..375A. doi:10.1103/PhysRevLett.4.375. 
  13. Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Energy and the criteria for radiation in general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 118 (4): 1100–1104. Bibcode:1960PhRv..118.1100A. doi:10.1103/PhysRev.118.1100. 
  14. Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Gravitational–electromagnetic coupling and the classical self-energy problem”. 《Physical Review》 (영어) 120: 313–320. Bibcode:1960PhRv..120..313A. doi:10.1103/PhysRev.120.313. 
  15. Arnowitt, R.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1960). “Interior Schwarzschild solutions and interpretation of Source Terms”. 《Physical Review》 (영어) 120: 321–324. Bibcode:1960PhRv..120..321A. doi:10.1103/PhysRev.120.321. 
  16. Arnowitt, R. L.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1961). “Wave zone in general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 121 (5): 1556–1566. Bibcode:1961PhRv..121.1556A. doi:10.1103/PhysRev.121.1556. 
  17. Arnowitt, R. L.; Deser, Stanley; Misner, Charles (1961). “Coordinate invariance and energy expressions in general relativity”. 《Physical Review》 (영어) 122 (3): 997–1006. Bibcode:1961PhRv..122..997A. doi:10.1103/PhysRev.122.997.