프리드만 방정식(영어: friedmann equations)이란 일반 상대성의 틀에서 균일·등방한 우주의 공간 팽창을 지배하는 물리 우주론 방정식이다. 두 방정식은 1922년에 알렉산드르 프리드만이 질량 밀도 ρ와 압력
가 주어진 이상 유체와 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 대한 아인슈타인의 장 방정식으로부터 처음 유도하였다.[1] 음의 곡률에 대한 방정식은 프리드만이 1924년에 유도하였다.[2]
프리드만 방정식은 우주가 공간적으로 균일하고 등방하다는 단순 가정, 즉 우주 원리에서 시작한다. 경험적으로 이는 100 Mpc 수준보다 큰 규모에서 타당하다. 우주 원리는 우주의 계량이 다음과 같은 형태여야 함을 시사한다.

여기서
는 평탄한 공간이거나 일정한 양의 곡률을 가지는 구면 공간이거나 일정한 음의 곡률을 가지는 쌍곡 공간이어야 하는 3차원 계량이다. 이러한 계량을 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 계량이라 일컫는다. 계수
는 후술하다시피 0, 1, -1의 값을 가지는 가우스 곡률로, 각 값은 전술한 세 경우를 나타낸다. 이로써 우리는 척도인자
를 합리적으로 기술할 수 있다.
이제 아인슈타인의 방정식은 척도인자의 진화를 우주의 압력과 에너지와 결부한다. FLRW 계량에서 크리스토펠 기호를 계산한 후, 리치 텐서를 계산한다. 그리고 이상 유체에 대한 응력-에너지 텐서를 아인슈타인의 장 방정식에 대입하면 프리드만 방정식을 얻을 수 있다.
방정식[편집]
균일하고 등방한 우주를 기술하려면 독립된 두 프리드만 방정식이 필요하다. 처음의 것은
.
이는 아인슈타인의 장 방정식의 00 성분에서 유도된 것이다. 두 번째 것은
.
이는 처음 식과 아인슈타인의 장 방정식의 대각합에서 유도된다. 두 방정식의 차원은
이다.
는 척도인자,
와
과
는 각각 뉴턴의 중력상수,
차원의 우주상수, 진공에서 빛의 속도인 보편상수이다.
와
는 단위 체적당 질량 밀도와 압력을 나타내며,
는 이 해에서 상수이나, 다른 해에서는 가변적일 수 있다.
상기한 방정식에서
와
와
는 시간에 대한 함수이다.
는 주어진 시점마다 우주의 공간 곡률이다. 이는 공간 리치 곡률 스칼라
의 6분의 1과 같다. 그 이유는 프리드만 모형에서
이 다음처럼 쓰이기 때문이다.
.
는 허블변수이다.
프리드만 방정식에서
는 주어진 공간에 대한 좌표계에 의존하지 않는다.
와
를 통해 동일한 물리적 결과를 기술하는 관점으로는 다음과 같은 두 가지가 흔히 적용된다.
이나
이나
은 각각 우주의 모양이 닫힌 3-스피어거나 평탄하거나 3-쌍곡면인지에 따라 결정된다.[3]
인 경우,
는 우주의 곡률 반경이 된다.
인 경우는 풀어 말해서
를 우주의 곡률 반경이라 할 수 있다.
는 오늘날의 값이 1인 척도인자이다.
는 현재(
일 때) 공간 곡률이다. 우주의 모양이 초구이고
가 곡률 반경(현재는
)일 경우,
이다.
가 양의 값을 가진다면 우주는 초구가 된다.
이라면 우주는 평탄하다.
가 음수라면 우주는 쌍곡면이다.
처음 방정식을 사용하면 두 번째 방정식은
를 소거하여 다음처럼 다시 쓸 수 있다.
,
이는 다음처럼 질량-에너지 보존을 나타낸다.
.
이따금은 우주상수를 포함하여

위처럼 대체한 후 다음과 같은 식을 내놓는다.

간단한 형태의 두 번째 방정식은 이러한 변환에 대해 불변이다.
허블변수는 질량 밀도나 진공에너지, 공간 곡률처럼 방정식의 다른 부분이 시간에 의존할 때 시간에 따라 변화한다. 오늘날의 허블변수는 허블의 법칙에서 비례상수에 해당하는 허블상수이다. 유체에 상태 방정식을 적용하면, 프리드만 방정식은 유체의 밀도에 대한 함수로서 우주의 시간적 진화와 모양을 내놓는다.
일부 우주론자는 프리드만의 방정식 중에서 두 번째 방정식을 프리드만 가속 방정식(영어: Friedmann accleration equation)으로 쓰고, 첫 번째 방정식만을 프리드만의 방정식으로 나타낸다.
밀도계수[편집]
밀도계수(영어: density parameter)
란 관측된 실제 밀도
와 프리드만 우주의 임계밀도
의 비율로 정의된다. 예컨대 실제 밀도와 임계밀도의 관계는 우주의 전반적인 모양을 결정한다. 두 밀도가 같다면 우주의 모양은 평탄하다. 우주상수 항을 고려하지 않은 초기 모형에서는 임계밀도가 영원히 팽창하는 우주와 팽창하다가 수축하는 우주를 구분하는 분기점으로 정의되기도 하였다.
오늘날 우주의 임계밀도는 입방미터 당 수소 원자 다섯 개와 비슷한 값을 가지는 것으로 추산되며, 보통 물질의 평균 밀도는 입방미터 당 수소 원자 0.2~0.25개 수준으로 여겨진다.[4][5]
우주 에너지 밀도의 상대적 조성.
암흑에너지(74%)가 총 에너지를 지배하며,
암흑물질(22%)은 질량의 대부분을 차지한다. 나머지 중입자 물질(4%)은 그중에서도 10분의 1만이 조밀하게 분포한다. 2015년 2월,
플랑크 콜라보레이션의 관측 결과에 따라 암흑에너지 69.1%, 암흑물질 25.9% 보통 물질 4.9%로 값이 개정되었다.
상당 부분의 밀도는 규명된 바 없는 암흑물질에서 비롯된 것이다. 보통 물질과 암흑물질 모두 우주가 수축하게끔 하는 성질을 가지고 있다. 그러나 가장 많은 부분은 암흑에너지에서 비롯되며, 암흑에너지는 우주상수 항을 설명하는 역할을 한다. 총 밀도는 임계밀도와 (정확히는 측정 오차 범위 내에서) 동일하더라도 암흑에너지는 우주가 수축하게끔 하지 않고, 그 팽창을 가속한다. 그러므로, 우리 우주는 영원히 팽창할 가능성이 높다.[6]
임계밀도는 기본 프리드만 우주에서와 같이 우주상수
가 0이고 규격화된 공간 곡률
가 0이라는 가정을 통해 구할 수 있다. 이를 첫 번째 프리드만 방정식에 대입하면 다음을 구할 수 있다.

- 여기서
이다. 즉,
일 경우
이며,
이다.
그러면 밀도계수를 다음처럼 정의하여 서로 다른 우주론 모형을 비교하는 데 유용하게 쓸 수 있다.
.
본래 이 항은 우주의 모양을 결정하는 도구로 쓰였다. 여기서
는 공간의 모양이 평탄할 때, 달리 말하면 유클리드적인 경우를 나타내는 임계밀도다. 진공에너지를 0으로 가정하면,
가 1보다 클 때 우주의 공간은 닫힌 형태이다. 이 경우에 우주는 어느 순간에 팽창을 멈추고 붕괴한다. 반대로
가 1보다 작다면 우주 공간은 열린 형태이며, 우주는 영원히 팽창한다. 그러나 공간 곡률과 진공에너지 항 역시 보다 일반적인 형태의
로 나타내는 것이 가능하다. 이 경우 밀도계수는 정확히 1과 같다. 그러면 각 성분은 아래첨자를 사용하여 나타내면 된다. ΛCDM 모형에서는
의 주성분으로 중입자 물질, 차가운 암흑물질, 암흑에너지가 있다. 우주의 모양은 WMAP 우주선이 측정한 바에 의하면 거의 평탄하다. 이는 우주를 공간 곡률 계수
가 0인 모형으로 잘 근사할 수 있음을 뜻한다. 그렇지만 이는 우주가 필연적으로 무한하리라는 의미를 내포하진 않는다. 이에 관한 단순한 시사점은 우주가 우리가 보는 부분보다 훨씬 클 수도 있다는 것이다. 비유컨대 수 킬로미터의 축척에서 지구는 거의 평탄하지만, 지구 전체의 축척에서는 평탄하지 않은 것처럼 말이다.
첫 번째 프리드만 방정식은 오늘날 밀도계수를 사용하여 다음처럼 나타내는 편이다.[7]
.
여기서
은 오늘날(
일 때) 복사 밀도이며,
은 오늘날 물질(암흑물질과 중입자 물질의 합)의 밀도,
은 오늘날 "공간 곡률 밀도",
는 오늘날 우주상수 내지 진공에너지의 밀도를 나타낸다.
유용한 해[편집]
프리드만 방정식은 다음처럼 상태 방정식을 가지는 이상 유체로 완전히 풀어낼 수 있다.
.
여기서
는 압력,
는 동행 좌표계(영어: comoving frame)에서 유체의 질량 밀도를 나타내며
는 상수이다.
공간적으로 평탄한 경우(
), 척도인자에 관한 해는
.
여기서
는 초기 조건에 따라 고정되는 적분상수다. 이처럼
를 사용하는 해의 일반식은 우주론에서 매우 중요하다. 예컨대,
인 경우는 압력이 질량 밀도에 둔감한 물질 지배 우주를 기술한다. 일반적인 해에서는 물질 지배 우주의 척도인자가 시간
에 따라 다음처럼 좌우된다는 사실을 간단히 보일 수 있다.
.
다른 중요한 예시로는
인 복사 지배 우주의 경우가 있다. 이 경우 척도인자는
.
인 우주상수 지배 우주에서는 이러한 해가 적용되지 않음을 유의하자. 이 경우는 에너지 밀도가 상수이며 척도인자는 시간에 따라 지수함수적으로 증가한다.
에 관한 다른 해는 Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics"를 참고하라.
물질이 각기 다른 상태 방정식을 가지는 둘 이상의 비상호작용 유체로 혼합된 경우라면
.
각 유체
에 대하여 위 식으로 분해하여 바라보는 것이 가능하다. 이 경우는
.
이를 통해 다음을 얻을 수 있다.

예컨대 이러한 항을 묶어서 다음처럼 선형적으로 나타낼 수 있다.
.
여기서
는
일 때 "티끌"(보통 물질,
)의 밀도를 나타낸다.
는
일 때 복사(
)의 밀도,
는 "암흑에너지"(
)의 밀도이다. 이를 다음 식에 대입하면

척도인자
를 시간에 대한 함수로 풀어낼 수 있다.
상세한 유도[편집]
해를 좀 더 명확히 하려면 첫 프리드만 방정식에서 완전한 관계식을 유도할 필요가 있다.

여기서
![{\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ac295f458a52350717883d08eec15b8b05ffd5)
변수를
과
으로 바꿔 사용하여 적분하면
.
각 성분이 지배하는 우주에 관하여 시간에 의존하는 척도인자의 해를 찾을 수 있게 되었다. 각각
으로 가정하기도 한다. 이는 에너지 밀도를 지배하는 원천이 대략 1이라는 가정과 일맥상통한다.
, 즉
인 물질 지배 우주의 경우
![{\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}a'^{\frac {3}{2}}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{\frac {2}{3}}&=a(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f7a6ba9b47996eeea4a41860dd6952c3a73c84)
전술한
을 확인할 수 있다.
, 즉
인 복사 지배 우주의 경우는
![{\displaystyle {\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{\frac {1}{2}}&=a(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39bd51e0c743a3f3a0ad6d9bbe69e4e765b56c23)
, 즉
인 Λ 지배 우주의 경우는, 시간과 척도인자에 대하여 0이 아닌 초기 조건
와
를 부여하면
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f570e944b7f7c63a08cef1602ad9ec877fea9a75)
Λ 지배 우주의 해는 이계도함수가 시간에 대해 양의 값을 가지기 때문에 특히 관심거리다. 이는 우주의 가속팽창과 암흑에너지
의 존재를 암시하기 때문이다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}\left(H_{0}\right)^{2}\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32bcb12baa18e987c5e7276b328cc0d8b077fe52)
여기서 형식상
이고 가정상
이며,
가 양수로 측정되었기 때문에 가속도는 0보다 크다.
재척도화 프리드만 방정식[편집]
인자들을 다음처럼 둔다.

여기서
와
는 각각 오늘날 척도인자와 허블변수다. 그러면 다음을 취할 수 있다.
.
여기서

어떤 형태의 유효 퍼텐셜
이든 퍼텐셜을 생성하는 상태 방정식은
의 꼴이다.
같이 보기[편집]
- ↑ Friedman, A (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. (in German). 10 (1): 377–386. (English translation: Friedman, A (1999). "On the Curvature of Space". General Relativity and Gravitation. 31 (12): 1991–2000.
- ↑ Friedmann, A (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. (in German). 21 (1): 326–332. (English translation: Friedmann, A (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation. 31 (12): 2001–2008.)
- ↑ Ray A d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity.
- ↑ Rees, M., Just Six Numbers, (2000) Orion Books, London, p. 81, p. 82 [모호한 표현]
- ↑ “Universe 101”. NASA. 2015년 9월 9일에 확인함.
The actual density of atoms is equivalent to roughly 1 proton per 4 cubic meters.
- ↑ 《How the Universe Works 3》. End of the Universe. Discovery Channel. 2014.
- ↑ Nemiroff, Robert J.; Patla, Bijunath (2008). “Adventures in Friedmann cosmology: A detailed expansion of the cosmological Friedmann equations”. 《American Journal of Physics》 76 (3): 265–276. arXiv:astro-ph/0703739. Bibcode:2008AmJPh..76..265N. doi:10.1119/1.2830536.
추가 읽기[편집]
- Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Expansion". Cosmology. Berlin: Springer. pp. 53–77.
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특수상대론 | |
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일반상대론 | |
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과학자 | |
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