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물리우주론 에서, 프리드만 방정식 (Фридман方程式, 영어 : Friedmann equation )은 균질하고 등방적인 우주의 팽창과 수축을 나타내는 미분방정식 이다. 러시아의 수학자 알렉산드르 프리드만 의 이름을 딴 것이다.
프리드만 방정식은 프리드만-로버트슨-워커 계량 을 아인슈타인 방정식 에 넣고 풀면 얻을 수 있다. 편의상 빛의 속력 을
c
=
1
{\displaystyle c=1}
프리드만 방정식 은 다음 두 방정식이다.
3
(
(
a
˙
/
a
)
2
+
k
/
a
2
)
=
8
π
G
ρ
+
Λ
{\displaystyle 3\left(({\dot {a}}/a)^{2}+k/a^{2}\right)=8\pi G\rho +\Lambda }
3
a
¨
/
a
=
−
4
π
G
(
ρ
+
3
p
)
+
Λ
{\displaystyle 3{\ddot {a}}/a=-4\pi G(\rho +3p)+\Lambda }
여기에서
ρ
{\displaystyle \rho }
Λ
{\displaystyle \Lambda }
우주 상수 ,
a
{\displaystyle a}
척도인자 이다.
k
{\displaystyle k}
곡률 인데, 주어진 시점에서의 공간의 스칼라 곡률 은
R
=
6
k
/
a
2
{\displaystyle R=6k/a^{2}}
시공간 의 스칼라 곡률과 다르다.) 통상적으로
k
=
−
1
,
0
,
1
{\displaystyle k=-1,0,1}
프리드만 방정식은 우주의 밀도와 곡률이 주어졌을 때 우주의 진화를 기술한다.
허블 상수 [ 편집 ] 척도인자 의 시간에 따른 상대 변화율을 허블 상수
H
(
t
)
{\displaystyle H(t)}
a
˙
(
t
)
/
a
(
t
)
=
H
(
t
)
{\displaystyle {\dot {a}}(t)/a(t)=H(t)}
허블 상수는 이름과 달리 시간에 대한 함수이다. 허블 상수를 사용하여 프리드만 방정식을
3
(
H
2
+
k
/
a
2
)
=
8
π
G
ρ
+
Λ
{\displaystyle 3\left(H^{2}+k/a^{2}\right)=8\pi G\rho +\Lambda }
3
(
H
˙
+
H
2
)
=
−
4
π
G
(
ρ
+
3
p
)
+
Λ
{\displaystyle 3({\dot {H}}+H^{2})=-4\pi G(\rho +3p)+\Lambda }
의 꼴로 놓을 수 있다.
에드윈 허블 은 1927년 멀리 있는 은하일수록, 우리 은하와 더 빠른 속도로 멀어지며, 그 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 허블의 법칙 을 발견하였다. 이를 수식으로 표현하면,
v
→
=
H
r
→
{\displaystyle {\vec {v}}=H{\vec {r}}}
이고, 여기에서 은하가 멀어지는 속도와 거리 사이의 비례상수 H가 바로 허블 상수다. 이는 균일하고(homogeneous), 등방적이며,(isotropic) 팽창하고 있는 우주에서 성립하는 일반적인 관계식으로서 다음과 같이 증명된다. 우주의 팽창을 따라가며 그 간격이 멀어지는 좌표계(comoving coordinate)에서 정의된 위치 벡터를
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
x
→
1
{\displaystyle {\vec {x}}_{1}}
x
→
2
{\displaystyle {\vec {x}}_{2}}
t
{\displaystyle t}
r
→
(
t
)
=
a
(
t
)
(
x
→
1
−
x
→
2
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)=a(t)({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})}
로 주어지고, 은하가 멀어지는 속도는 이 거리의 미분으로 구할 수 있다.
v
→
(
t
)
=
a
˙
(
t
)
(
x
→
1
−
x
→
2
)
=
a
˙
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
(
x
→
1
−
x
→
2
)
=
H
(
t
)
r
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {v}}(t)={\dot {a}}(t)({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}a(t)({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})=H(t){\vec {r}}(t)}
같이 보기 [ 편집 ] 특수상대론
E
=
m
c
2
{\displaystyle E=mc^{2}}
G
=
8
π
G
c
4
T
{\displaystyle \mathbf {G} ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\mathbf {T} }
일반상대론
과학자
이 부분의 본문은 허블의 법칙입니다.
