프리드만 방정식

알렉산드르 프리드만

프리드만 방정식은 일반 상대성 이론의 맥락 내에서 우주의 균질성 및 등방성 모형에서 우주팽창을 제어하는 ​​물리 우주론의 방정식 세트이다. 그것들은 1922년 알렉산드르 프리드만에 의해 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량 및 주어진 질량 밀도 ρ및 압력 p를 갖는 이상 유체에 대한 중력의 아인슈타인 방정식에서 처음 도출되었다. 음의 곡률에 대한 방정식도 1924년 프리드만에 의해서 주어졌다.

가정

• 참조: 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

프리드만 방정식은 우주가 공간적으로 균질하고 등방성, 즉 우주론 원리라는 단순화된 가정으로 시작한다. 경험적으로 이것은 100 Mpc 정도보다 큰 규모에서 정당화된다. 우주론 원리는 우주의 계량이 다음과 같은 형식이어야 함을 의미하니 (다른 계량 부호수로 표현될 수도 있다)

$\mathrm {d} s^{2}=a(t)^{2}\,{\mathrm {d} s_{3}}^{2}-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}$

여기서 ds₃²는 (a) 평면 공간, (b) 일정한 양의 곡률을 갖는 구 또는 (c) 일정한 음의 곡률을 갖는 쌍곡선 공간 중 하나여야 하는 3차원 계량-메트릭이다. 이 계량을 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 계량이라고 한다. 아래에서 논의되는 매개변수 k는 이 세 가지 경우에 각각 0, 1, -1 또는 이에 해당하는 가우스 곡률 값을 갖는다. 우리가 "척도인자" a(t)에 대해 합리적으로 말할 수 있게 해주는 것은 바로 이 사실이다.

아인슈타인 방정식은 이제 이 척도인자의 진화를 우주에 있는 물질의 압력과 에너지와 연관시킨다. FLRW 계량에서 크리스토펠 기호를 계산한 다음 리치 곡률 텐서를 계산한다. 이상 유체에 대한 에너지-운동량 텐서 $T^{\mu \nu }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }$ 를 사용하여 그것들을 아인슈타인 방정식 $R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ 에 대입하며, 그 결과의 방정식들은 아래에 설명되어 있다.

방정식들

균질한 등방성 우주를 모델링하기 위한 두 개의 독립적인 프리드만 방정식이 있다. 첫 번째는:

${\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}$

이것은 아인슈타인 방정식의 00 성분에서 유도된다. 두 번째는:

${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

이는 첫번째 방정식과 아인슈타인 방정식의 대각합과 함께 유도된다. (두 방정식의 차원은 시간^-2).

a는 척도인자, G, Λ 및 c는 보편적 상수이다 (G는 뉴턴의 중력 상수, Λ는 길이⁻² 차원인 우주 상수, c는 진공에서 광속임). ρ와 p는 각각 체적 질량 밀도(체적 에너지 밀도가 아님)와 압력이다. k는 특정 해 전체에서 일정하지만 각각의 해마다 다를 수 있다.

이 방정식들에서, a, ρ, p는 시간의 함수이다. k/a²는 우주의 어떤 시간-슬라이스(time-slice)의 곡률이며; 그것은 공간 스칼라 곡률 R 의 6분의 1과 같은데, 왜냐하면 프리드만 방정식에서

$R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})$

이기 때문이다.  H ≡ ȧ/a는 허블 매개변수이다.

우리는 프리드만 방정식에서 a(t)는 공간적 슬라이스들(spatial slices)에 대해 선택한 좌표계에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있다. 동일한 물리학을 기술하는 a와 k에 대해 일반적으로 사용되는 두 가지 선택이 있으니:

• 우주의 모양이 각각 닫힌 3차원 초구인지, 평평한(유클리드 공간)인지, 열린 3-쌍곡면인지에 따라 k = +1, 0 또는 −1. k = +1 이면 a는 우주의 곡률반지름이다. k = 0 이면 a는 특정 시간에 임의의 양수로 고정될 수 있다. k = −1 이면 (느슨하게 말해서) i · a 가 우주의 곡률반지름이라고 말할 수 있다.
• a는 현재 1로 간주되는 척도인자이다. k는 현재의 곡률이다 (a = 1 일 때). 우주의 모양이 초구형이고 R_t가 곡률반지름 (현재에는 R₀)이면 a = R_t/R₀.  k가 양수이면 우주는 초구형이다. k = 0 이면 우주는 평평하다. k가 음수이면 우주는 쌍곡면이다.

첫 번째 방정식을 사용하여 두 번째 방정식은 다음과 같이 다시 표현할 수 있으니

${\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),$

이는 Λ 를 소거하고 질량-에너지의 보존을 표현하니:

$T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0.$

이 방정식은 때때로 다음처럼 대체함으로써 단순화되어

${\begin{aligned}\rho &\to \rho +{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}\\p&\to p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}\end{aligned}}$

그러면:

${\begin{aligned}H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\\{\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}$

두 번째 방정식의 단순화된 형태는 이 변환_{transformation}에서 불변이다.

방정식의 다른 부분이 시간에 따라 달라지는 경우(특히 질량 밀도, 진공 에너지 또는 공간 곡률) 허블 매개변수는 시간에 따라 변경될 수 있다. 현재의 허블 매개변수를 평가하면 허블-르메트르 법칙의 비례상수인 허블상수가 나온다. 주어진 상태 방정식을 갖는 유체에 적용하면, 프리드만 방정식은 유체 밀도의 함수로서 우주의 시간 진화 및 기하학을 산출한다.

일부 우주론자들은 이 두 방정식 중 두 번째 방정식을 프리드만 가속도 방정식(Friedmann acceleration equation)이라고 부르며 또한 첫 번째 방정식에 대해서만 '프리드만 방정식'이라는 용어를 사용한다.

밀도 매개변수

밀도 매개변수 Ω는 프리드만 우주(Friedmann universe)의 임계 밀도 ρ_c에 대한 실제(또는 관찰된) 밀도 ρ의 비율로 정의된다. 실제 밀도와 임계 밀도 사이의 관계는 우주의 전체적 기하학(overall geometry)을 결정한다. 그것들이 같을 때, 우주의 기하학은 평평하다(유클리드적). 우주 상수 용어를 포함하지 않은 초기 모형에서는 임계 밀도는 초기에 팽창하는 우주와 수축하는 우주 사이의 분기점으로 정의되었다.

현재까지, 임계 밀도는 입방 미터당 약 5개의 원자(단원자 분자 수소의)로 추정되는 반면에, 우주의 일반 물질의 평균 밀도는 입방 미터당 0.2-0.25개의 원자라고 믿어지고 있다.

우주의 에너지 밀도 구성 요소에 대한 예상 상대 분포. 암흑 에너지는 전체 에너지(74%)를 지배하는 반면 암흑 물질(22%)은 질량의 대부분을 구성한다. 나머지 중입자 물질(4%) 중 10분의 1만이 조밀하다. 2015년 2월 플랑크 우주론 탐사선 배후에 있는 유럽 주도의 연구팀은 이러한 값을 일반 물질 4.9%, 암흑 물질 25.9%, 암흑 에너지 69.1%로 세분화한 새로운 데이터를 발표했다.

훨씬 더 큰 밀도는 미확인 암흑 물질에서 나온다. 일반 물질과 암흑 물질 모두 우주의 수축에 기여한다. 그러나 가장 큰 부분은 우주 상수 항을 설명하는 소위 암흑 에너지에서 비롯된다. 전체 밀도는 임계 밀도(정확히는, 측정 오차까지)와 같지만 암흑 에너지는 우주의 수축을 일으키지 않고 오히려 팽창을 가속화할 수 있다. 따라서 우주는 영원히 팽창할 것 같다.

임계 밀도에 대한 표현은 Λ를 0으로 가정하고(모든 기본 프리드만 우주에서와 같이) 정규화된 공간 곡률, k를 0으로 설정하여 찾을 수 있다. 프리드만 방정식의 첫 번째 방정식에 그 대입을 적용하면 우리는 다음을 발견하여:

$\rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}h^{2}{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}=2.7754\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3},$

(여기서 h = H₀/(100 km/s/Mpc). For H_o = 67.4 km/s/Mpc, i.e. h = 0.674, ρ_c = 8.5×10⁻²⁷ kg/m³).

밀도 매개변수(다른 우주 모델을 비교하는 데 유용한)는 다음과 같이 정의되여:

$\Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.$

이 용어는 원래 우주의 공간적 기하학을 결정하는 수단으로 사용되었다. 여기서 ρ_c는 공간 기하학이 평평한(또는 유클리드적)인 경우의 임계 밀도이다. 진공 에너지 밀도가 0이라고 가정하고 Ω가 1보다 크면 우주의 공간 섹션(space sections)이 닫혀서; 우주는 결국 팽창을 멈추게 되고, 그리고 붕괴될 것이다. Ω가 1보다 작으면 열려 있어서; 우주는 영원히 팽창한다. 그러나, 공간적 곡률과 진공 에너지 항을 밀도 매개변수는 정확히 1과 동일한 Ω에 대해서보다 일반적인 표현으로 포함할 수 있다. 그러면 그것은 일반적으로 아래 첨자로 표시되는 다양한 구성 요소를 측정하는 문제이다. ΛCDM 모형에 따르면 중입자, 차가운 암흑 물질 및 암흑 에너지에 의한 Ω의 중요한 구성 요소들이 있다. 우주의 공간 기하학은 WMAP 우주선에 의해 거의 평평한 것으로 측정되었다. 이는 공간 곡률 매개변수 k가 0인 모형으로 우주를 잘 근사할 수 있음을 의미하지만; 그러나 이것이 반드시 우주가 무한하다는 것을 의미하지는 않고: 단지 우주가 우리가 보는 부분보다 훨씬 더 크다는 것일 수 있다. (유사하게 지구가 네덜란드 축척으로 거의 평평하다는 사실이 지구가 평평하다는 것을 의미하지는 않고: 그것은 단지 그것이 네덜란드보다 훨씬 더 크다는 것을 의미할 뿐이다.)

첫 번째 프리드만 방정식은 종종 밀도 매개변수의 현재 값으로 볼 수 있으니, 즉

${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.$

여기서 Ω_0,R는 오늘의 복사 밀도이고 (a = 1 일 때), Ω_0,M는 오늘의 물질(암흑 물질 더하기 중입자) 밀도, Ω_0,k = 1 − Ω₀ 는 오늘의 "곡률 밀도", 그리고 Ω_0,Λ는 오늘의 우주 상수 혹은 진공 밀도이다.

유용한 해들

프리드만 방정식은 이상 유체의 현존에서는 다음의 상태 방정식으로 정확히 풀릴 수 있으니

$p=w\rho c^{2},$

여기서 p는 압력이고, ρ는 공변 틀_frame속의 유체의 질량 밀도이고 또한 w는 어떤 상수이다.

공간적으로 평평한 경우 (k = 0), 척도인자를 위한 해는

$a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}$

여기서 a₀는 초기 조건의 선택에 의해 고정되는 어떤 적분 상수이다. w로 레이블이 지정된 이 해법군은 우주론에 대단히 중요하다. 예를 들어, w = 0 는 물질-지배 우주를 설명하며, 여기서 압력은 질량 밀도와 관련하여 무시할 수 있다. 일반적인 해로부터 물질-지배 우주에서 척도인자는 다음과 같이 된다는 것을 쉽게 알 수 있으니

$a(t)\propto t^{\frac {2}{3}}.$ (물질-지배 우주)

또 다른 중요한 예는 복사-지배 우주, 즉 w = 1/3 일 때이다. 이것은 다음으로 이어지니

$a(t)\propto t^{\frac {1}{2}}.$ (복사-지배 우주)

이 해는 w = −1 에 해당하는 우주 상수의 지배에는 유효하지 않는 것에 유의하라. 이 경우 에너지 밀도는 일정하고 척도인자가 지수적으로 증가한다.

혼합물

물질이 각각 그러한 상태 방정식을 갖는 두 개 이상의 상호 작용하지 않는 유체의 혼합물이라면,

${\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)\,$

각 그러한 유체 f 에 대해 별도로 보유한다. 각각의 경우,

${\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,$

거기에는 우리는 얻기를

${\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.$

예를 들어, 그러한 항들의 선형 조합을 형성할 수 있으니

$\rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,$

여기서 A는 a = 1 일 때의 "먼지"(일반 물질, w = 0) 의 밀도이고; B는 a = 1 일 때의 복사(w = 1/3) 의 밀도이고; 또한 C는 "암흑 애너지" (w = −1) 의 밀도이다. 그런 다음 이것을 아래에 치환하여

$\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\,$

시간의 함수인 a 의 해를 구한다.

상세한 유도

해를 보다 명확하게 만들기 위해 첫 번째 프리드만 방정식에서 전체 관계를 도출할 수 있으니:

${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }$

더불어

${\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}$

적분을 위해서 변수 a′ 및 t′ 를 사용하도록 재정렬 및 ​​변경하면

$tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2}}}}$

각 구성 요소가 지배하는 우주에 대한 시간에 대한 척도인자의 의존성에 대한 해를 찾을 수 있다. 각각에서 우리는 또한 Ω_0,k ≈ 0 이라고 가정했는데, 이는 에너지 밀도의 지배적인 소스가 약 1이라고 가정하는 것과 동일하다.

물질-지배 우주에서는, 여기서 Ω_0,M ≫ Ω_0,R 그리고 Ω_0,Λ, 또한 Ω_0,M ≈ 1:

${\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}a'^{\frac {3}{2}}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{\frac {2}{3}}&=a(t)\end{aligned}}$

이것은 앞에서 언급한 a ∝ t^2/3 를 복구한다.

복사-지배 우주에서는, 여기서 Ω_0,R ≫ Ω_0,M 그리고 Ω_0,Λ, 또한 Ω_0,R ≈ 1:

${\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{\frac {1}{2}}&=a(t)\end{aligned}}$

Λ-지배 우주에서는, 여기서 Ω_0,Λ ≫ Ω_0,R 그리고 Ω_0,M, 또한 Ω_0,Λ ≈ 1, 그리고 여기서 우리는 이제 적분의 구간을 t_i에서 to t까지로 변경하며, 또한 마찬가지로 a_i로부터 a까지로 변경하면:

${\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t)\end{aligned}}$

시간에 대한 2차 도함수가 0이 아닌 양수이기 때문에 Λ-지배 우주 해가 특히 중요한데; 바꾸어 말하면, 우주의 가속 팽창을 의미하며, ρ_Λ 를 암흑 에너지의 후보로 만들어서:

${\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}\left(H_{0}\right)^{2}\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right).\end{aligned}}$

여기서 구성상 a_i > 0 이고, Ω_0,Λ ≈ 1 이 가정이었고, 또한 H₀는 양수로 측정되었으므로, 가속도를 0보다 크게 만든다.

재조정된 프리드만 방정식

세트

${\tilde {a}}={\frac {a}{a_{0}}},\quad \rho _{c}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}},\quad \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {c} }}},\quad t={\frac {\tilde {t}}{H_{0}}},\quad \Omega _{\mathrm {c} }=-{\frac {kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}},$

여기서 a₀ 와 H₀는 별도로 오늘의 척도인자와 허블 상수이다. 그러면 우리는 다음을 가질 수 있으니

${\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{\mathrm {c} }$

여기서

$U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {-\Omega {\tilde {a}}^{2}}{2}}.$

유효한 포텐셜 U_eff(ã)의 어떤 형태를 위해서든지 그것을 생성할 상태 방정식 p = p(ρ)는 있다.

같이 보기

• 일반 상대성 원리의 수학 (Mathematics of general relativity)
• 아인슈타인 방정식의 해들 (Solutions of Einstein's field equations)
• 따뜻한 급팽창 (Warm inflation)

추가 읽기

• Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Expansion". Cosmology. Berlin: Springer. pp. 53–77.