프리드만 방정식

프리드만 방정식(영어: friedmann equations)이란 일반 상대성의 틀에서 균일·등방한 우주의 공간 팽창을 지배하는 물리 우주론 방정식이다. 두 방정식은 1922년에 알렉산드르 프리드만이 질량 밀도 ρ와 압력 $p$가 주어진 이상 유체와 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량에 대한 아인슈타인의 장 방정식으로부터 처음 유도하였다. 음의 곡률에 대한 방정식은 프리드만이 1924년에 유도하였다.

가정

 이 부분의 본문은 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량입니다.

프리드만 방정식은 우주가 공간적으로 균일하고 등방하다는 단순 가정, 즉 우주 원리에서 시작한다. 경험적으로 이는 100 Mpc 수준보다 큰 규모에서 타당하다. 우주 원리는 우주의 계량이 다음과 같은 형태여야 함을 시사한다.

$\mathrm {d} s^{2}=a(t)^{2}\ {\mathrm {d} s_{3}}^{2}-c^{2}\ \mathrm {d} t^{2}$

여기서 ${\mathrm {d} s_{3}}^{2}$는 평탄한 공간이거나 일정한 양의 곡률을 가지는 구면 공간이거나 일정한 음의 곡률을 가지는 쌍곡 공간이어야 하는 3차원 계량이다. 이러한 계량을 프리드만-르메트르-로버트슨-워커(FLRW) 계량이라 일컫는다. 계수 $k$는 후술하다시피 0, 1, -1의 값을 가지는 가우스 곡률로, 각 값은 전술한 세 경우를 나타낸다. 이로써 우리는 척도인자 $a(t)$를 합리적으로 기술할 수 있다.

이제 아인슈타인의 방정식은 척도인자의 진화를 우주의 압력과 에너지와 결부한다. FLRW 계량에서 크리스토펠 기호를 계산한 후, 리치 텐서를 계산한다. 그리고 이상 유체에 대한 응력-에너지 텐서를 아인슈타인의 장 방정식에 대입하면 프리드만 방정식을 얻을 수 있다.

방정식

균일하고 등방한 우주를 기술하려면 독립된 두 프리드만 방정식이 필요하다. 처음의 것은

${\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}$.

이는 아인슈타인의 장 방정식의 00 성분에서 유도된 것이다. 두 번째 것은

${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$.

이는 처음 식과 아인슈타인의 장 방정식의 대각합에서 유도된다. 두 방정식의 차원은 $T^{-2}$이다.

$a$는 척도인자, $G$와 $\Lambda$과 $c$는 각각 뉴턴의 중력상수, $L^{2}$ 차원의 우주상수, 진공에서 빛의 속도인 보편상수이다. $\rho$와 $p$는 단위 체적당 질량 밀도와 압력을 나타내며, $k$는 이 해에서 상수이나, 다른 해에서는 가변적일 수 있다.

상기한 방정식에서 $a$와 $\rho$와 $p$는 시간에 대한 함수이다. ${\frac {k}{a^{2}}}$는 주어진 시점마다 우주의 공간 곡률이다. 이는 공간 리치 곡률 스칼라 $R$의 6분의 1과 같다. 그 이유는 프리드만 모형에서 $R$이 다음처럼 쓰이기 때문이다.

$R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}\left({\ddot {a}}a+{{\ddot {a}}^{2}}+kc^{2}\right)$.

$H\equiv {\frac {\dot {a}}{a}}$는 허블변수이다.

프리드만 방정식에서 $a(t)$는 주어진 공간에 대한 좌표계에 의존하지 않는다. $a$와 $k$를 통해 동일한 물리적 결과를 기술하는 관점으로는 다음과 같은 두 가지가 흔히 적용된다.

• $k=+1$이나 $0$이나 $-1$은 각각 우주의 모양이 닫힌 3-스피어거나 평탄하거나 3-쌍곡면인지에 따라 결정된다. $k=+1$인 경우, $a$는 우주의 곡률 반경이 된다. $k=0$인 경우는 풀어 말해서 $i\cdot a$를 우주의 곡률 반경이라 할 수 있다.

• $a$는 오늘날의 값이 1인 척도인자이다. $k$는 현재($a=1$일 때) 공간 곡률이다. 우주의 모양이 초구이고 $R_{t}$가 곡률 반경(현재는 $R_{0}$)일 경우, $a={\frac {R_{t}}{R_{0}}}$이다. $k$가 양의 값을 가진다면 우주는 초구가 된다. $k=0$이라면 우주는 평탄하다. $k$가 음수라면 우주는 쌍곡면이다.

처음 방정식을 사용하면 두 번째 방정식은 $\Lambda$를 소거하여 다음처럼 다시 쓸 수 있다.

${\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)$,

이는 다음처럼 질량-에너지 보존을 나타낸다.

$T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0$.

이따금은 우주상수를 포함하여

${\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}\\p&\to p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}\end{aligned}}$

위처럼 대체한 후 다음과 같은 식을 내놓는다.

${\begin{aligned}H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}&={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\\{\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right).\end{aligned}}$

간단한 형태의 두 번째 방정식은 이러한 변환에 대해 불변이다.

허블변수는 질량 밀도나 진공에너지, 공간 곡률처럼 방정식의 다른 부분이 시간에 의존할 때 시간에 따라 변화한다. 오늘날의 허블변수는 허블의 법칙에서 비례상수에 해당하는 허블상수이다. 유체에 상태 방정식을 적용하면, 프리드만 방정식은 유체의 밀도에 대한 함수로서 우주의 시간적 진화와 모양을 내놓는다.

일부 우주론자는 프리드만의 방정식 중에서 두 번째 방정식을 프리드만 가속 방정식(영어: Friedmann accleration equation)으로 쓰고, 첫 번째 방정식만을 프리드만의 방정식으로 나타낸다.

밀도계수

밀도계수(영어: density parameter) $\Omega$란 관측된 실제 밀도 $\rho$와 프리드만 우주의 임계밀도 $\rho _{\mathrm {c} }$의 비율로 정의된다. 예컨대 실제 밀도와 임계밀도의 관계는 우주의 전반적인 모양을 결정한다. 두 밀도가 같다면 우주의 모양은 평탄하다. 우주상수 항을 고려하지 않은 초기 모형에서는 임계밀도가 영원히 팽창하는 우주와 팽창하다가 수축하는 우주를 구분하는 분기점으로 정의되기도 하였다.

오늘날 우주의 임계밀도는 입방미터 당 수소 원자 다섯 개와 비슷한 값을 가지는 것으로 추산되며, 보통 물질의 평균 밀도는 입방미터 당 수소 원자 0.2~0.25개 수준으로 여겨진다.

우주 에너지 밀도의 상대적 조성. 암흑에너지(74%)가 총 에너지를 지배하며, 암흑물질(22%)은 질량의 대부분을 차지한다. 나머지 중입자 물질(4%)은 그중에서도 10분의 1만이 조밀하게 분포한다. 2015년 2월, 플랑크 콜라보레이션의 관측 결과에 따라 암흑에너지 69.1%, 암흑물질 25.9% 보통 물질 4.9%로 값이 개정되었다.

상당 부분의 밀도는 규명된 바 없는 암흑물질에서 비롯된 것이다. 보통 물질과 암흑물질 모두 우주가 수축하게끔 하는 성질을 가지고 있다. 그러나 가장 많은 부분은 암흑에너지에서 비롯되며, 암흑에너지는 우주상수 항을 설명하는 역할을 한다. 총 밀도는 임계밀도와 (정확히는 측정 오차 범위 내에서) 동일하더라도 암흑에너지는 우주가 수축하게끔 하지 않고, 그 팽창을 가속한다. 그러므로, 우리 우주는 영원히 팽창할 가능성이 높다.

임계밀도는 기본 프리드만 우주에서와 같이 우주상수 $\Lambda$가 0이고 규격화된 공간 곡률 $k$가 0이라는 가정을 통해 구할 수 있다. 이를 첫 번째 프리드만 방정식에 대입하면 다음을 구할 수 있다.

${\begin{aligned}\rho _{\mathrm {c} }&={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}=1.8788\times 10^{-26}\ h^{2}\mathrm {kg\ m^{-3}} \\&=2.7754\times 10^{11}\ h^{2}\ M_{\odot }\ \mathrm {Mpc^{-3}} \end{aligned}}$

여기서 $h=H_{0}/\left(100\ \mathrm {km/s/Mpc} \right)$이다. 즉, $H_{0}=67.4\ \mathrm {km/s/Mpc}$일 경우 $h=0.674$이며, $\rho _{\mathrm {c} }=8.5\times 10^{-27}\ \mathrm {kg/m^{3}}$이다.

그러면 밀도계수를 다음처럼 정의하여 서로 다른 우주론 모형을 비교하는 데 유용하게 쓸 수 있다.

$\Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {c} }}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}$.

본래 이 항은 우주의 모양을 결정하는 도구로 쓰였다. 여기서 $\rho _{\mathrm {c} }$는 공간의 모양이 평탄할 때, 달리 말하면 유클리드적인 경우를 나타내는 임계밀도다. 진공에너지를 0으로 가정하면, $\Omega$가 1보다 클 때 우주의 공간은 닫힌 형태이다. 이 경우에 우주는 어느 순간에 팽창을 멈추고 붕괴한다. 반대로 $\Omega$가 1보다 작다면 우주 공간은 열린 형태이며, 우주는 영원히 팽창한다. 그러나 공간 곡률과 진공에너지 항 역시 보다 일반적인 형태의 $\Omega$로 나타내는 것이 가능하다. 이 경우 밀도계수는 정확히 1과 같다. 그러면 각 성분은 아래첨자를 사용하여 나타내면 된다. ΛCDM 모형에서는 $\Omega$의 주성분으로 중입자 물질, 차가운 암흑물질, 암흑에너지가 있다. 우주의 모양은 WMAP 우주선이 측정한 바에 의하면 거의 평탄하다. 이는 우주를 공간 곡률 계수 $k$가 0인 모형으로 잘 근사할 수 있음을 뜻한다. 그렇지만 이는 우주가 필연적으로 무한하리라는 의미를 내포하진 않는다. 이에 관한 단순한 시사점은 우주가 우리가 보는 부분보다 훨씬 클 수도 있다는 것이다. 비유컨대 수 킬로미터의 축척에서 지구는 거의 평탄하지만, 지구 전체의 축척에서는 평탄하지 않은 것처럼 말이다.

첫 번째 프리드만 방정식은 오늘날 밀도계수를 사용하여 다음처럼 나타내는 편이다.

${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{\mathrm {0,R} }a^{-4}+\Omega _{\mathrm {0,M} }a^{-3}+\Omega _{\mathrm {0,M} }a^{-2}+\Omega _{\mathrm {0,\Lambda } }$.

여기서 $\Omega _{\mathrm {0,R} }$은 오늘날($a=1$일 때) 복사 밀도이며, $\Omega _{\mathrm {0,M} }$은 오늘날 물질(암흑물질과 중입자 물질의 합)의 밀도, $\Omega _{\mathrm {0,k} }=1-\Omega _{0}$은 오늘날 "공간 곡률 밀도", $\Omega _{\mathrm {0,\Lambda } }$는 오늘날 우주상수 내지 진공에너지의 밀도를 나타낸다.

유용한 해

프리드만 방정식은 다음처럼 상태 방정식을 가지는 이상 유체로 완전히 풀어낼 수 있다.

$p=w\rho c^{2}$.

여기서 $p$는 압력, $\rho$는 동행 좌표계(영어: comoving frame)에서 유체의 질량 밀도를 나타내며 $w$는 상수이다.

공간적으로 평탄한 경우($k=0$), 척도인자에 관한 해는

$a(t)=a_{0}t^{\frac {2}{3\left(w+1\right)}}$.

여기서 $a_{0}$는 초기 조건에 따라 고정되는 적분상수다. 이처럼 $w$를 사용하는 해의 일반식은 우주론에서 매우 중요하다. 예컨대, $w=0$인 경우는 압력이 질량 밀도에 둔감한 물질 지배 우주를 기술한다. 일반적인 해에서는 물질 지배 우주의 척도인자가 시간 $t$에 따라 다음처럼 좌우된다는 사실을 간단히 보일 수 있다.

$a(t)\propto t^{\frac {2}{3}}$.

다른 중요한 예시로는 $w={\frac {1}{3}}$인 복사 지배 우주의 경우가 있다. 이 경우 척도인자는

$a(t)\propto t^{\frac {1}{2}}$.

$w=-1$인 우주상수 지배 우주에서는 이러한 해가 적용되지 않음을 유의하자. 이 경우는 에너지 밀도가 상수이며 척도인자는 시간에 따라 지수함수적으로 증가한다.

$k$에 관한 다른 해는 Tersic, Balsa. "Lecture Notes on Astrophysics"를 참고하라.

혼합

물질이 각기 다른 상태 방정식을 가지는 둘 이상의 비상호작용 유체로 혼합된 경우라면

${\dot {\rho _{f}}}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)$.

각 유체 $f$에 대하여 위 식으로 분해하여 바라보는 것이 가능하다. 이 경우는

${\dot {\rho _{f}}}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)$.

이를 통해 다음을 얻을 수 있다.

$\rho _{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}$

예컨대 이러한 항을 묶어서 다음처럼 선형적으로 나타낼 수 있다.

$\rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}$.

여기서 $A$는 $a=1$일 때 "티끌"(보통 물질, $w=0$)의 밀도를 나타낸다. $B$는 $a=1$일 때 복사($w={\frac {1}{3}}$)의 밀도, $C$는 "암흑에너지"($w=-1$)의 밀도이다. 이를 다음 식에 대입하면

$\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}$

척도인자 $a$를 시간에 대한 함수로 풀어낼 수 있다.

상세한 유도

해를 좀 더 명확히 하려면 첫 프리드만 방정식에서 완전한 관계식을 유도할 필요가 있다.

${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }$

여기서

${\begin{aligned}H&={\frac {\dot {a}}{a}}\\[6px]H^{2}&=H_{0}^{2}\left(\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }\right)\\[6pt]H&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\dot {a}}{a}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }}}\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}&=H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\mathrm {d} a&=\mathrm {d} tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a^{2}}}\\[6pt]\end{aligned}}$

변수를 $a'$과 $t'$으로 바꿔 사용하여 적분하면

$tH_{0}=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}+\Omega _{0,k}+\Omega _{0,\Lambda }a'^{2}}}}$.

각 성분이 지배하는 우주에 관하여 시간에 의존하는 척도인자의 해를 찾을 수 있게 되었다. 각각 $\Omega _{0,k}\approx 0$으로 가정하기도 한다. 이는 에너지 밀도를 지배하는 원천이 대략 1이라는 가정과 일맥상통한다.

$\Omega _{0,\mathrm {M} }\gg \Omega _{0,\mathrm {R} }+\Omega _{0,\mathrm {\Lambda } }$, 즉 $\Omega _{0,\mathrm {M} }\approx 1$인 물질 지배 우주의 경우

${\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }a'^{-1}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}&=\left.\left({\tfrac {2}{3}}a'^{\frac {3}{2}}\right)\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left({\tfrac {3}{2}}tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {M} }}}\right)^{\frac {2}{3}}&=a(t).\end{aligned}}$

전술한 $a\propto t^{2/3}$을 확인할 수 있다.

$\Omega _{0,\mathrm {R} }\gg \Omega _{0,\mathrm {M} }+\Omega _{0,\mathrm {\Lambda } }$, 즉 $\Omega _{0,\mathrm {R} }\approx 1$인 복사 지배 우주의 경우는

${\begin{aligned}tH_{0}&=\int _{0}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }a'^{-2}}}}\\[6px]tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}&=\left.{\frac {a'^{2}}{2}}\,\right|_{0}^{a}\\[6px]\left(2tH_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\mathrm {R} }}}\right)^{\frac {1}{2}}&=a(t).\end{aligned}}$

$\Omega _{0,\mathrm {\Lambda } }\gg \Omega _{0,\mathrm {M} }+\Omega _{0,\mathrm {R} }$, 즉 $\Omega _{0,\mathrm {\Lambda } }\approx 1$인 Λ 지배 우주의 경우는, 시간과 척도인자에 대하여 0이 아닌 초기 조건 $t_{i}$와 $a_{i}$를 부여하면

${\begin{aligned}\left(t-t_{i}\right)H_{0}&=\int _{a_{i}}^{a}{\frac {\mathrm {d} a'}{\sqrt {(\Omega _{0,\Lambda }a'^{2})}}}\\[6px]\left(t-t_{i}\right)H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}&={\bigl .}\ln |a'|\,{\bigr |}_{a_{i}}^{a}\\[6px]a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)&=a(t).\end{aligned}}$

Λ 지배 우주의 해는 이계도함수가 시간에 대해 양의 값을 가지기 때문에 특히 관심거리다. 이는 우주의 가속팽창과 암흑에너지 $\rho _{\Lambda }$의 존재를 암시하기 때문이다.

${\begin{aligned}a(t)&=a_{i}\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\\[6px]{\frac {\mathrm {d} ^{2}a(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}&=a_{i}\left(H_{0}\right)^{2}\Omega _{0,\Lambda }\exp \left((t-t_{i})H_{0}{\sqrt {\Omega _{0,\Lambda }}}\right)\end{aligned}}$

여기서 형식상 $a_{i}>0$이고 가정상 $\Omega _{0,\Lambda }\approx 1$이며, $H_{0}$가 양수로 측정되었기 때문에 가속도는 0보다 크다.

재척도화 프리드만 방정식

인자들을 다음처럼 둔다.

${\tilde {a}}={\frac {a}{a_{0}}},\quad \rho _{c}={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}},\quad \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{\mathrm {c} }}},\quad t={\frac {\tilde {t}}{H_{0}}},\quad \Omega _{\mathrm {c} }=-{\frac {kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}},$

여기서 $a_{0}$와 $H_{0}$는 각각 오늘날 척도인자와 허블변수다. 그러면 다음을 취할 수 있다.

${\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{\mathrm {c} }$.

여기서

$U_{\text{eff}}({\tilde {a}})={\frac {-\Omega {\tilde {a}}^{2}}{2}}.$

어떤 형태의 유효 퍼텐셜 $U_{\mathrm {eff} }({\tilde {a}})$이든 퍼텐셜을 생성하는 상태 방정식은 $p=p(\rho )$의 꼴이다.

같이 보기

• 일반 상대성 이론에 응용되는 수학(Mathematics of general relativity)
• 아인슈타인 장 방정식의 해(Solutions of the Einstein field equations)
• 따뜻한 급팽창(Warm inflation)

추가 읽기

• Liebscher, Dierck-Ekkehard (2005). "Expansion". Cosmology. Berlin: Springer. pp. 53–77.