프리드만 방정식

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물리우주론에서, 프리드만 방정식(Фридман方程式, 영어: Friedmann equation)은 등방적인 우주의 팽창과 수축을 나타내는 미분방정식이다. 러시아의 수학자 알렉산드르 프리드만의 이름을 딴 것이다.

정의[편집]

프리드만 방정식은 프리드만-로버트슨-워커 계량아인슈타인 방정식에 넣고 풀면 얻을 수 있다. 편의상 빛의 속력로 놓자. 그렇다면 프리드만 방정식은 다음 두 방정식이다.

여기에서 는 우주의 (에너지) 밀도, 우주 상수,는 우주의 상대적인 크기를 결정하는 척도인자이다. 는 우주의 공간 곡률인데, 주어진 시점에서의 공간의 스칼라 곡률이다. (공간의 스칼라 곡률은 시공간의 스칼라 곡률과 다르다.) 통상적으로 로 놓는다.

프리드만 방정식은 우주의 밀도와 곡률이 주어졌을 때 우주의 진화를 기술한다.

허블 상수[편집]

척도인자의 시간에 따른 상대 변화율을 허블 상수 로 정의한다.

허블 상수는 이름과 달리 시간에 대한 함수이다. 허블 상수를 사용하여 프리드만 방정식을

의 꼴로 놓을 수 있다.

에드윈 허블은 1927년 멀리 있는 은하일수록, 우리 은하와 더 빠른 속도로 멀어지며, 그 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 허블의 법칙을 발견하였다. 이를 수식으로 표현하면,

이고, 여기에서 은하가 멀어지는 속도와 거리 사이의 비례상수 H가 바로 허블 상수다. 이는 균일하고(homogeneous), 등방적이며,(isotropic) 팽창하고 있는 우주에서 성립하는 일반적인 관계식으로서 다음과 같이 증명된다. 우주의 팽창을 따라가며 그 간격이 멀어지는 좌표계(comoving coordinate)에서 정의된 위치 벡터를 라고 하자. 좌표 과, 에 위치한 두 은하를 생각하자. 시간 일 때 두 은하 사이의 거리는

로 주어지고, 은하가 멀어지는 속도는 이 거리의 미분으로 구할 수 있다.

같이 보기[편집]