프리드만 방정식

Alexander Friedmann

물리우주론에서, 프리드만 방정식(Фридман方程式, 영어: Friedmann equation)은 균질하고 등방적인 우주의 팽창과 수축을 나타내는 미분방정식이다. 러시아의 수학자 알렉산드르 프리드만의 이름을 딴 것이다.

정의

프리드만 방정식은 프리드만-로버트슨-워커 계량을 아인슈타인 방정식에 넣고 풀면 얻을 수 있다. 편의상 빛의 속력을 $c=1$로 놓자. 그렇다면 프리드만 방정식은 다음 두 방정식이다.

$3\left(({\dot {a}}/a)^{2}+k/a^{2}\right)=8\pi G\rho +\Lambda$

$3{\ddot {a}}/a=-4\pi G(\rho +3p)+\Lambda$

여기에서 $\rho$는 우주의 (에너지) 밀도, $\Lambda$는 우주 상수,$a$는 우주의 상대적인 크기를 결정하는 척도인자이다. $k$는 우주의 공간 곡률인데, 주어진 시점에서의 공간의 스칼라 곡률은 $R=6k/a^{2}$이다. (공간의 스칼라 곡률은 시공간의 스칼라 곡률과 다르다.) 통상적으로 $k=-1,0,1$로 놓는다.

프리드만 방정식은 우주의 밀도와 곡률이 주어졌을 때 우주의 진화를 기술한다.

허블 상수

이 부분의 본문은 허블의 법칙입니다.

척도인자의 시간에 따른 상대 변화율을 허블 상수 $H(t)$로 정의한다.

${\dot {a}}(t)/a(t)=H(t)$

허블 상수는 이름과 달리 시간에 대한 함수이다. 허블 상수를 사용하여 프리드만 방정식을

$3\left(H^{2}+k/a^{2}\right)=8\pi G\rho +\Lambda$

$3({\dot {H}}+H^{2})=-4\pi G(\rho +3p)+\Lambda$

의 꼴로 놓을 수 있다.

에드윈 허블은 1927년 멀리 있는 은하일수록, 우리 은하와 더 빠른 속도로 멀어지며, 그 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 허블의 법칙을 발견하였다. 이를 수식으로 표현하면,

${\vec {v}}=H{\vec {r}}$

이고, 여기에서 은하가 멀어지는 속도와 거리 사이의 비례상수 H가 바로 허블 상수다. 이는 균일하고(homogeneous), 등방적이며,(isotropic) 팽창하고 있는 우주에서 성립하는 일반적인 관계식으로서 다음과 같이 증명된다. 우주의 팽창을 따라가며 그 간격이 멀어지는 좌표계(comoving coordinate)에서 정의된 위치 벡터를 ${\vec {x}}$라고 하자. 좌표 ${\vec {x}}_{1}$과, ${\vec {x}}_{2}$에 위치한 두 은하를 생각하자. 시간 $t$ 일 때 두 은하 사이의 거리는

${\vec {r}}(t)=a(t)({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})$

로 주어지고, 은하가 멀어지는 속도는 이 거리의 미분으로 구할 수 있다.

${\vec {v}}(t)={\dot {a}}(t)({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}a(t)({\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2})=H(t){\vec {r}}(t)$

같이 보기

• 척도인자
• 상태 방정식 (우주론)
• 프리드만-로버트슨-워커 계량