프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

물리우주론

우주 마이크로파 배경을 통해 촬영한 우주의 구조

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우주의 팽창 적색편이 · 허블의 법칙 공간의 측정 팽창 프리드만 방정식 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

구조 형성 우주의 모양 구조형성 재전리 은하의 형성 및 진화 우주 거대구조 은하 필라멘트

우주의 성분 ΛCDM 모형 암흑 에너지 · 암흑 물질 가벼운 암흑 물질

관측 우주론 2dF · SDSS COBE · BOOMERanG · WMAP · 플랑크

과학자 뉴턴 · 아인슈타인 · 호킹 · 프리드만 · 르메트르 · 허블 · 펜지어스 · 윌슨 · 가모프 · 딕 · 젤도비치 · 매더 · 루빈 · 스무트

우주론에서, 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(영어: Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric) 또는 FLRW 계량(영어: FLRW metric)은 팽창하거나 축소하는 등방(isotropic) 균등(homogeneous) 우주를 나타내는 계량 텐서이며, 시간에 대한 함수인 척도인자로 나타내어진다. 이 계량이 아인슈타인 방정식을 만족시키려면, 척도인자가 프리드만 방정식의 해여야 한다.

정의

$d+1$차원 FLRW 계량은 다음과 같다.

$ds^2=-dt^2+a(t)^2 \left(\frac{dr^2}{1-kr^2}+d\Omega_d^2\right)$

여기서 $a(t)$는 척도인자라고 불리는, 양의 실수 값을 가지는 시간에 대한 함수다. 척도인자는 주어진 시간에서 FLRW 우주의 상대적인 크기를 나타낸다. $t$는 (물리적) 시간이다. $k$는 공간의 곡률을 나타내는 상수이며, $k\in\{-1,0,+1\}$로 규격화할 수 있다. $k=+1$은 양의 곡률을 가진 우주, $k=-1$은 음의 곡률을 갖는 우주, $k=0$은 평탄한 우주다. (이는 공간만의 곡률을 나타낸다. 척도인자가 상수가 아니라면, 시공간은 항상 곡률을 가진다.)

$d\Omega_d^2$는 $(d-1)$차원 초구 위 계량이며, $d=3$일 때 다음과 같다.

$d\Omega_2^2=d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2$

등각 시간(영어: conformal time) $\tau$는 다음과 같다.

$\tau(t)=\int^t_{t_0}\frac{dt'}{a(t')}$

여기서 $t_0$는 임의의 상수다. 등각 시간을 사용하면 FLRW 계량은 다음과 같다.

$ds^2=a(\tau)^2\left(-d\tau^2+\frac{dr^2}{1-kr^2}+d\Omega_d^2\right)$

만약 $k=0$이라면, 이는 민코프스키 계량 $-d\tau^2+\sum_{i=1}^d(dx^i)^2$을 등각변환한 것으로 볼 수 있다.

예

최대 대칭 공간

최대 대칭 공간(maximally symmetric space)인 민코프스키 공간, 더 시터르 공간 공간, 반 더 시터르 공간 공간은 FLRW 공간의 특수한 경우다. 민코프스키 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• $k=0$, $a(t)=\text{constant}$ (평탄한 엽층화)
• $k=-1$, $a(t)=t$ (쌍곡공간 엽층화)
  • 이 엽층화는 밀른 모형(영어: Milne model)이라고 불리며, 에드워드 아서 밀른이 1935년에 발견하였다.

반지름이 $R$인 더 시터르 공간 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• $k=0$, $a(t)=R\exp(t/R)$ (평탄한 엽층화)
• $k=1$, $a(t)=R\cosh(t/R)$ (초구 엽층화)
• $k=-1$, $a(t)=R\sinh(t/R)$ (쌍곡공간 엽층화)

반지름이 $R$인 반 더 시터르 공간 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• $k=-1$, $a(t)=R\sin(t/R)$ (쌍곡공간 엽층화)

ΛCDM 모형

ΛCDM 모형은 우리가 살고 있는 우주를 $k=0$인 FLRW 계량으로 나타낸다. 현재 (2013년), ΛCDM 모형에서 우주의 곡률에 의한 효과는 측정할 수 없을 정도로 작다.

역사와 어원

알렉산드르 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 퍼시 로버트슨(영어: Howard Percy Robertson), 아서 제프리 워커(영어: Arthur Geoffrey Walker)의 이름을 땄다. 르메트르의 업적은 널리 알려지지 않았으므로, 간혹 르메트르의 이름이 생략된 프리드만-로버트슨-워커 계량 또는 FRW 계량으로 불리기도 한다.