프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

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프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(영어: Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric) 또는 FLRW 계량(영어: FLRW metric)은 일반 상대성 이론아인슈타인 방정식정확한 해이다. 경로로 연결되어 있지만 반드시 단순하게 연결되어 있지는 않은 균질하고 등방성이며 팽창하는(또는 수축하는) 우주를 설명한다.[1][2][3] 계량의 일반적인 형태는 균질성과 등방성의 기하학적 속성에서 비롯된다. 아인슈타인의 장 방정식은 우주의 척도인자를 시간의 함수로 도출하는 데만 필요하다. 지리적 또는 역사적 선호도에 따라 알렉산더 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 P. 로버트슨아서 지오프리 워커의 네 명의 과학자 세트는 일반적으로 프리드만 또는 프리드만-로버트슨-워커(FRW) 또는 로버트슨-워커(RW)로 또는 프리드만-르메트르(FL) 등으로 그룹화된다. 이 모형은 때때로 현대 우주론표준 모형 이라고 불리기도 하지만[4], 이러한 설명은 더욱 발전된 ΛCDM 모형과도 관련이 있다. FLRW 모형은 1920년대와 1930년대에 명명된 저자들에 의해 독립적으로 개발되었다.

일반 계량[편집]

FLRW 계량은 공간의 균질성등방성을 가정하는 것으로 시작한다. 또한 계량의 공간 구성 요소가 시간 종속적일 수 있다고 가정한다. 이러한 조건을 충족하는 일반 계량은

여기서 는 균일한 곡률의 3차원 공간, 즉 타원 공간, 유클리드 공간 또는 쌍곡 공간에 걸쳐 있다. 이것은 보통 세 개의 공간 좌표의 함수로 쓰여지지만, 이를 위한 몇 가지 규칙이 있으며 아래에 자세히 설명되어 있다. t 에 의존하지 않는다 - 모든 시간 의존성은 "척도인자"로 알려진 함수 a(t)에 있다.

감소된 원주 극좌표[편집]

감소된 원주 극좌표에서 공간 메트릭은 다음과 같은 형식을 갖는다.

k는 공간의 곡률을 나타내는 상수이다. 두 가지 일반적인 단위 규칙이 있으니:

  • k는 길이-2의 단위를 갖는 것으로 간주될 수 있으며, 이 경우 r은 길이 단위를 갖고 a(t)는 단위가 없다. ka(t) = 1일 때 공간의 가우스 곡률이다. r은 원점을 중심으로 측정된 원(r 값에서)의 측정된 원주를 2π로 나눈 값(슈바르츠실트 좌표r과 유사)과 같기 때문에 가끔 감소된 원주라고도 한다. 적절한 경우, 공변거리를 측정하도록, a(t)는 종종 현재 우주론적 시대에 1과 같도록 선택된다.
  • 대안적으로, k는 세트 {−1,0,+1}에 속하는 것으로 간주될 수 있다 (각각 음수, 0 및 양의 곡률에 대해서). 그러면 r은 단위가 없고 a(t)에는 길이 단위가 있다. k = ±1일 때 a(t)는 공간의 곡률 반경이며 R(t)로 표기할 수도 있다.

감소된 원주 좌표의 단점은 양의 곡률의 경우 3차원 초구3-sphere의 절반만 덮는다는 것이다. (공간이 타원형인 경우, 즉 반대 점이 식별된 3차원 초구에는 문제가 되지 않는다.)

초구면 좌표계[편집]

4차원 공간속의 반경 R인 3차원 초구에서 로 하면, 초구면 좌표계에서 좌표 𝜒는 반경 방향 거리에 비례하며

여기에서 는 전과 동일하며 다음을 얻는다.

여기에는 이전과 마찬가지로 두 가지 일반적인 단위 규칙이 있으니:

  • k는 길이−2 단위를 갖을 수 있으며, 그 경우에 𝜒은 길이의 단위를 갖고 a(t)는 단위가 없다. ka(t) = 1일 때 공간의 가우스 곡률이다. 적절한 경우, 공변거리를 측정하도록, a(t)는 종종 현재 우주론적 시대에 1과 같도록 선택된다.
  • 대안적으로,전과 마찬가지로, k는 세트 {−1,0,+1}에 속하는 것으로 간주될 수 있다 (각각 음수, 0 및 양의 곡률에 대해서). 그러면 𝜒은 단위가 없고 a(t)에는 길이 단위가 있다. k = ±1일 때 a(t)는 공간의 곡률 반경이며 R(t)로 표기할 수도 있다. k = +1 일때, 𝜒은 본질적으로 θφ를 따르는 세번째 각도라는 것을 유의하라.

일반적으로 위와 같이 구분적으로 정의되지만, Sk𝜒해석 함수이다. 그것은 또한 거듭제곱 급수로 쓸 수 있다.

혹은

여기서 sinc는 비정규화된 싱크함수이고 k의 허수, 0 또는 실수 제곱근 중 하나이다. 이러한 정의는 모든 k에 대해 유효하다.

데카르트 좌표계[편집]

k = 0 일 때는 간단하게 쓰기를

이것은 다음을 정의하여 k ≠ 0으로 확장할 수 있으며

,
,
,

여기서 r은 위에서 정의한 반지름 좌표축들 중 하나이지만 드문 경우이다.

정의[편집]

차원 FLRW 계량은 다음과 같다.

여기서 척도인자라고 불리는, 양의 실수 값을 가지는 시간에 대한 함수다. 척도인자는 주어진 시간에서 FLRW 우주의 상대적인 크기를 나타낸다. (물리적) 시간이다. 는 공간의 곡률을 나타내는 상수이며, 로 규격화할 수 있다. 은 양의 곡률을 가진 우주, 은 음의 곡률을 갖는 우주, 은 평탄한 우주다. (이는 공간만의 곡률을 나타낸다. 척도인자가 상수가 아니라면, 시공간은 항상 곡률을 가진다.)

차원 초구 위 계량이며, 일 때 다음과 같다.

등각 시간(영어: conformal time) 는 다음과 같다.

여기서 는 임의의 상수다. 등각 시간을 사용하면 FLRW 계량은 다음과 같다.

만약 이라면, 이는 민코프스키 계량 등각변환한 것으로 볼 수 있다.

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최대 대칭 공간[편집]

최대 대칭 공간(maximally symmetric space)인 민코프스키 공간, 더 시터르 공간 공간, 반 더 시터르 공간 공간은 FLRW 공간의 특수한 경우다. 민코프스키 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • , (평탄한 엽층)
  • , (쌍곡공간 엽층)

반지름이 더 시터르 공간 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • , (평탄한 엽층)
  • , (초구 엽층)
  • , (쌍곡공간 엽층)

반지름이 반 더 시터르 공간 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  • , (쌍곡공간 엽층)

ΛCDM 모형[편집]

ΛCDM 모형은 우리가 살고 있는 우주를 인 FLRW 계량으로 나타낸다. 현재 (2013년), ΛCDM 모형에서 우주의 곡률에 의한 효과는 측정할 수 없을 정도로 작다.

각주[편집]

  1. 초기 참조는 로버트슨(1935)을 참조하라; 로버트슨은 양의 곡률 사례에서 다중 연결성을 가정하고 "우리는 여전히 간단한 연결성을 복원할 수 있다"고 말한다.
  2. M. Lachieze-Rey; J.-P. Luminet (1995), "Cosmic Topology", Physics Reports, 254 (3): 135–214, arXiv:gr-qc/9605010
  3. G. F. R. Ellis; H. van Elst (1999). "Cosmological models (Cargèse lectures 1998)". In Marc Lachièze-Rey (ed.). Theoretical and Observational Cosmology. NATO Science Series C. 541. pp. 1–116. arXiv:gr-qc/9812046.
  4. L. Bergström, A. Goobar (2006), Cosmology and Particle Astrophysics (2nd ed.), Sprint, p. 61
  5. Milne, Edward Arthur (1935). 《Relativity, Gravitation and World-Structure》. Oxford: Clarendon Press. Bibcode:1935QB500.M5.......