프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

우주론에서, 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(영어: Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric) 또는 FLRW 계량(영어: FLRW metric)은 팽창하거나 축소하는 등방(isotropic) 균등(homogeneous) 우주를 나타내는 계량 텐서이며, 시간에 대한 함수인 척도인자로 나타내어진다. 이 계량이 아인슈타인 방정식을 만족시키려면, 척도인자가 프리드만 방정식의 해여야 한다.

정의

$d+1$차원 FLRW 계량은 다음과 같다.

$ds^{2}=-dt^{2}+a(t)^{2}\left({\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+d\Omega _{d}^{2}\right)$

여기서 $a(t)$는 척도인자라고 불리는, 양의 실수 값을 가지는 시간에 대한 함수다. 척도인자는 주어진 시간에서 FLRW 우주의 상대적인 크기를 나타낸다. $t$는 (물리적) 시간이다. $k$는 공간의 곡률을 나타내는 상수이며, $k\in \{-1,0,+1\}$로 규격화할 수 있다. $k=+1$은 양의 곡률을 가진 우주, $k=-1$은 음의 곡률을 갖는 우주, $k=0$은 평탄한 우주다. (이는 공간만의 곡률을 나타낸다. 척도인자가 상수가 아니라면, 시공간은 항상 곡률을 가진다.)

$d\Omega _{d}^{2}$는 $(d-1)$차원 초구 위 계량이며, $d=3$일 때 다음과 같다.

$d\Omega _{2}^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$

등각 시간(영어: conformal time) $\tau$는 다음과 같다.

$\tau (t)=\int _{t_{0}}^{t}{\frac {dt'}{a(t')}}$

여기서 $t_{0}$는 임의의 상수다. 등각 시간을 사용하면 FLRW 계량은 다음과 같다.

$ds^{2}=a(\tau )^{2}\left(-d\tau ^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+d\Omega _{d}^{2}\right)$

만약 $k=0$이라면, 이는 민코프스키 계량 $-d\tau ^{2}+\sum _{i=1}^{d}(dx^{i})^{2}$을 등각변환한 것으로 볼 수 있다.

예

최대 대칭 공간

최대 대칭 공간(maximally symmetric space)인 민코프스키 공간, 더 시터르 공간 공간, 반 더 시터르 공간 공간은 FLRW 공간의 특수한 경우다. 민코프스키 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• $k=0$, $a(t)={\text{constant}}$ (평탄한 엽층)
• $k=-1$, $a(t)=t$ (쌍곡공간 엽층)
  • 이 엽층은 밀른 모형(영어: Milne model)이라고 불리며, 에드워드 아서 밀른이 1935년에 발견하였다.

반지름이 $R$인 더 시터르 공간 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• $k=0$, $a(t)=R\exp(t/R)$ (평탄한 엽층)
• $k=1$, $a(t)=R\cosh(t/R)$ (초구 엽층)
• $k=-1$, $a(t)=R\sinh(t/R)$ (쌍곡공간 엽층)

반지름이 $R$인 반 더 시터르 공간 공간의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

• $k=-1$, $a(t)=R\sin(t/R)$ (쌍곡공간 엽층)

ΛCDM 모형

ΛCDM 모형은 우리가 살고 있는 우주를 $k=0$인 FLRW 계량으로 나타낸다. 현재 (2013년), ΛCDM 모형에서 우주의 곡률에 의한 효과는 측정할 수 없을 정도로 작다.

역사와 어원

알렉산드르 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 퍼시 로버트슨(영어: Howard Percy Robertson), 아서 제프리 워커(영어: Arthur Geoffrey Walker)의 이름을 땄다. 르메트르의 업적은 널리 알려지지 않았으므로, 간혹 르메트르의 이름이 생략된 프리드만-로버트슨-워커 계량 또는 FRW 계량으로 불리기도 한다.