사용자:Kobmuiv/리만 곡면

함수 f ( z )에 대한 리만 곡면 = √z . 두 개의 가로 축은 z 의 실수부와 허수부를 나타내고 세로축은 √z 실수부를 나타냅니다. √z 허수 부분은 점의 색상으로 표시된다. 이 함수의 경우 세로 축을 기준으로 플롯을 180° 회전한 후의 높이이기도 한다.

수학, 특히 복소 해석학에서 리만 곡면은 연결 1차원 복소 다양체이다. 이러한 곡면은 베른하르트 리만 에 의해 처음 연구되었으며 이름을 따서 명명되었다. 리만 곡면은 복소 평면을 변형한 버전으로 생각할 수 있다. 모든 점 근처에서 국소적으로 복소 평면의 좌표 조각처럼 보이지만 전체 위상은 상당히 다를 수 있다. 예를 들어 구, 원환면 또는 여러 장을 함께 붙인 것처럼 보일 수 있다.

리만 곡면의 주요 관심사는 정칙 함수가 그들 사이에 정의될 수 있다는 것이다. 리만 곡면은 오늘날 이러한 함수, 특히 제곱근 및 기타 대수 함수 또는 로그와 같은 다가 함수의 전역 동작을 연구하기 위한 자연스러운 설정으로 간주된다.

모든 리만 곡면은 2차원 실해석 다양체 (즉, 곡면)이지만 정칙 함수의 명확한 정의에 필요한 더 많은 구조(특히 복소 구조)를 포함한다. 2차원 실수 다양체는 방향을 정할 수 있고 거리화 할 수 있는 경우에만 리만 곡면(보통 몇 가지 동치인 방식들로)으로 전환될 수 있다. 따라서 구와 원환면은 복소 구조를 인정하지만 뫼비우스의 띠, 클라인 병, 실 사영 평면은 그렇지 않다.

리만 곡면에 대한 기하학적 사실은 가능한 한 "좋고" 종종 다른 곡선, 다양체 또는 다형체에 대한 일반화에 대한 직관과 동기를 제공한다. 리만–로흐 정리는 이러한 영향의 대표적인 예이다.

정의

리만 곡면에 대한 몇 가지 동등한 정의가 있다.

1. 리만 곡면 X는 복소 차원 1의 연결 복소 다양체이다. 이것은 X가 복소 평면의 열린 단위 원판에 좌표의 아틀라스가 부여된 연결 하우스도르프 공간임을 의미한다. 모든 점 x ∈ X 에 대해 복소평면의 열린 단위 원판과 위상동형인 x의 이웃이 있다. 평면 및 두 개의 겹치는 좌표 사이의 전이 사상은 정칙 함수이어야 한다.
2. 리만 곡면은 등각 구조와 함께 (실) 차원 2의 유향 다양체 (양면을 가진 곡면 )이다. 다시 말하지만 다양체는 X 의 임의의 점 x 에서 국소적으로 공간이 실 평면의 부분 집합에 대해 위상 동형임을 의미한다. 보충 "리만"은 X에 다양체에서 각도 측정을 허용하는 추가 구조, 즉 소위 리만 계량 의 동치류가 부여됨을 의미한다. 측정하는 각도가 동일한 경우 이러한 두 계량은 동등한 것으로 간주된다. X에서 계량 동치류를 선택하는 것은 등각 구조의 추가 데이터이다.

복소 구조는 복소 평면에 주어진 표준 유클리드 계량을 선택하고 좌표를 통해 X로 전송함으로써 등각 구조를 발생시킨다. 등각 구조가 복소 구조를 결정한다는 것을 보여주는 것은 더 어렵다.

예

리만 구.

원환면.

• The complex plane C is the most basic Riemann surface. The map f(z) = z (the identity map) defines a chart for C, and {f} is an atlas for C. The map g(z) = z^* (the conjugate map) also defines a chart on C and {g} is an atlas for C. The charts f and g are not compatible, so this endows C with two distinct Riemann surface structures. In fact, given a Riemann surface X and its atlas A, the conjugate atlas B = {f^* : f ∈ A} is never compatible with A, and endows X with a distinct, incompatible Riemann structure.
• In an analogous fashion, every non-empty open subset of the complex plane can be viewed as a Riemann surface in a natural way. More generally, every non-empty open subset of a Riemann surface is a Riemann surface.
• Let S = C ∪ {∞} and let f(z) = z where z is in S \ {∞} and g(z) = 1 / z where z is in S \ {0} and 1/∞ is defined to be 0. Then f and g are charts, they are compatible, and { f, g } is an atlas for S, making S into a Riemann surface. This particular surface is called the Riemann sphere because it can be interpreted as wrapping the complex plane around the sphere. Unlike the complex plane, it is compact.
• The theory of compact Riemann surfaces can be shown to be equivalent to that of projective algebraic curves that are defined over the complex numbers and non-singular. For example, the torus C/(Z + τ Z), where τ is a complex non-real number, corresponds, via the Weierstrass elliptic function associated to the lattice Z + τ Z, to an elliptic curve given by an equation

  y² = x³ + a x + b.

  Tori are the only Riemann surfaces of genus one; surfaces of higher genera g are provided by the hyperelliptic surfaces

  y² = P(x),

  where P is a complex polynomial of degree 2g + 1.
• All compact Riemann surfaces are algebraic curves since they can be embedded into some $\mathbb {CP} ^{n}$. This follows from the Kodaira embedding theorem and the fact there exists a positive line bundle on any complex curve.
• Important examples of non-compact Riemann surfaces are provided by analytic continuation.

추가 정의 및 성질

복소 다양체 사이의 모든 사상과 마찬가지로 두 리만 곡면 M 과 N 사이의 함수 f : M → N 은 M 의 아틀라스에 있는 모든 좌표 g 와 N의 아틀라스에 있는 모든 좌표 h에 대해 사상 h ∘ f 인 경우 정칙이라고 한다. ∘ g ⁻¹은 그것이 정의되는 모든 곳에서 정칙( C 에서 C 까지의 함수)이다. 두 개의 정칙 사상의 합성은 정칙이다. 2개의 리만 곡면 M 과 N은 M 에서 N 까지의 전단 사 정칙 함수가 존재하는 경우 쌍정칙 (또는 등각적 관점을 강조하기 위해 등각 동치)이라고 한다. 따라서 생략). 2개의 등각 동치 리만 곡면은 모든 실용적인 목적에 대해 동일하다.

방향성

복소 다양체인 각 리만 곡면은 실수 다양체로서 가향이다. 전이 함수 h = f (g^{− 1}(z))가 있는 복소 좌표 f 및 g의 경우 h는 점 z의 야코비 행렬이 실 선형 사상인 열린 R² 집합에서 R²로의 사상으로 볼 수 있다. 복소수 h'(z)를 곱하여 제공된다. 그러나 복소수 α 에 의한 곱셈의 실수 행렬식은 다음과 같다. |α| ² 이므로 h의 야코비안은 양의 행렬식을 가진다. 결과적으로 복소 아틀라스는 유향 아틀라스이다.

함수

모든 콤팩트하지 않은 리만 곡면은 상수 함수가 아닌 복소 정칙 함수를 허용한다. 사실, 모든 콤팩트가 아닌 리만 곡면은 슈타인 다양체이다.

대조적으로, 콤팩트 리만 곡면 X 에서 값이 C인 모든 정칙 함수는 최대 원리로 인해 일정하다. 그러나 상수가 아닌 유리형 함수(리만 구 C ∪ {∞}의 값을 갖는 정칙사상 함수)는 항상 존재한다. 보다 정확하게는, X의 함수 체는 C(t )의 유한 확대이며, 하나의 변수에 있는 함수 체, 즉 임의의 두 개의 유리형 함수는 대수적으로 종속된다. 이 진술은 더 높은 차원으로 일반화된다. Siegel (1955) 참조. 유리형 함수는 곡면의 리만 세타 함수와 아벨-야코비 사상의 관점에서 상당히 명시적으로 주어질 수 있다.

해석학 대 대수학

상수 함수가 아닌 유리형 함수의 존재는 임의의 콤팩트 리만 곡면이 사영 다형체임을 보여주기 위해 사용될 수 있다. 즉, 사영 공간 내부의 다항 방정식으로 주어질 수 있다. 실제로, 모든 콤팩트 리만 곡면은 복소 사영 3-공간에 몰입 될 수 있음을 보여줄 수 있다. 이것은 놀라운 정리이다. 리만 곡면은 국소적 좌표 조각에 의해 제공된다. 하나의 전역 조건, 즉 콤팩트 조건이 추가되면 곡면은 필연적으로 대수적이다. 리만 곡면의 이러한 특징을 통해 해석 또는 대수 기하학의 방법으로 곡면을 연구할 수 있다. 고차원 대상에 대한 해당 설명은 거짓이다. 즉, 대수적이지 않은 콤팩트 복소수 2-다양체가 있다. 다른 한편으로, 모든 사영 복소 다양체는 반드시 대수적이다. 저우 정리 참조.

예를 들어 원환면 T를 고려하자 . := 씨 /( 지 + τZ ) . 바이어스트라스 함수 $\wp _{\tau }(z)$ 격자 Z에 종수하는 + τ Z는 T 의 유리형 함수이다. 이 함수와 그 미분 $\wp _{\tau }'(z)$는 T 의 함수체를 생성한다. 방정식이 있다

$[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},$

여기서 계수 g₂와 g₃은 τ에 의존하므로 대수 기하학의 의미에서 타원 곡선 E_τ를 제공한다. 이를 뒤집는 것은 j-불변량 j(E)에 의해 수행되며, 이는 τ및 원환면를 결정하는 데 사용할 수 있다.

리만 곡면의 분류

모든 리만 곡면 집합은 쌍곡선, 포물선 및 타원 리만 곡면의 세 부분 집합으로 나눌 수 있다. 기하학적으로 이들은 음수, 영 또는 양수 단면 곡률을 갖는 곡면에 해당한다. 즉, 연결된 모든 리만 곡면 $X$ 일정한 곡률이 다음과 같은 독특한 완비 2차원 실수 리만 계량을 인정한다 $-1,0$ 또는 $1$ 이는 리만 곡면으로서의 구조에 의해 결정되는 리만 계량의 등각 동치류에 속한다. 이것은 등온 좌표의 존재 결과로 볼 수 있다.

복소 해석 용어에서 푸앵카레–Koebe 균일화 정리 (리만 사상 정리의 일반화)는 모든 단순 연결된 리만 곡면이 다음 중 하나와 등각적으로 동등하다고 말한다.

• 리만 구 ${\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}$, 이는 $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$ ;
• 복소 평면 $\mathbf {C}$ ;
• 열린 원판 $\mathbf {D} :=\{z\in \mathbf {C} :|z|<1\}$ 이것은 상반면과 동형이다. $\mathbf {H} :=\{z\in \mathbf {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}$ .

리만 곡면은 그것의 보편 덮개가 $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$, $\mathbf {C}$ 또는 $\mathbf {D}$와 동형인지 여부에 따라 타원, 포물선 또는 쌍곡선이다. 각 종류의 원소는 더 정확한 설명을 허용한다.

타원 리만 곡면

리만 구 $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$가 유일한 예인데, 자유롭고 적절하게 불연속적으로 쌍정칙 변환에 의해 그것에 작용하는 군이 없기 때문에, 보편 덮개가 $\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )$과 동형인 리만 곡면 그 자체가 그것과 동형적이어야 한다.

포물 리만 곡면

만약에 $X$가 복소 평면 $\mathbf {C}$에 대해 동형인 보편 덮개의 리만 곡면이면, 다음 곡면 중 하나와 동형이다.

• $\mathbf {C}$
• 몫 $\mathbf {C} /\mathbf {Z}$
• 몫 $\mathbf {C} /(\mathbf {Z} +\mathbf {Z} \tau )$. 여기서 $\tau \in \mathbf {C}$, $\mathrm {Im} (\tau )>0$.

위상 수학적으로는 평면, 원통 및 원환면의 세 가지 유형만 있다. 그러나 전자의 두 경우에서 (포물) 리만 곡면 구조는 고유하지만 매개변수 $\tau$를 변경한다. 세 번째 경우는 동형이 아닌 리만 곡면을 제공한다. 매개변수 $\tau$에 의한 설명은 "표시된" 리만 곡면의 타이히뮐러 공간을 제공한다(리만 곡면 구조에 추가하여 원환면에 대한 고정된 동형으로 볼 수 있는 "표시"의 위상 데이터를 추가한다). 해석 모듈라이 공간을 얻으려면(마킹을 잊음) 사상류 군에 의해 타이히뮐러 공간의 몫을 취한다. 이 경우 모듈러 곡선이다.

쌍곡 리만 곡면

나머지 경우에는 $X$가 푹스 군에 의한 상반면의 몫과 동형인 쌍곡 리만 곡면이다(이것은 곡면에 대한 푹스 모형이라고도 함). $X$의 위상수학적 유형은 원환면과 구를 제외한 모든 유향 곡면이 될 수 있다.

$X$가 콤팩트인 경우 특히 흥미롭다. 그런 다음 위상 유형은 종수 $g\geq 2$으로 설명된다. 타이히뮐러 공간과 계수 공간은 $6g-6$ -차원이다. 유한 유형의 리만 곡면(닫힌 곡면에서 유한한 수의 점을 뺀 동형)의 비슷한 분류가 주어질 수 있다. 그러나 일반적으로 무한 위상 유형의 리만 곡면의 계수 공간은 너무 커서 그러한 설명을 허용할 수 없다.

리만 곡면 사이의 사상

기하학적 분류는 리우빌 정리와 작은 피카르 정리에 자세히 설명된 것처럼 리만 곡면 사이의 사상에 반영된다. 구의 평면에 원판이 포함되어 있다. $\Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},$ 그러나 구에서 평면으로 가는 모든 입체 사상은 상수 함수이고 평면에서 단위 원판으로 가는 입체 사상도 상수 함수이며(리우빌의 정리) 사실 평면에서 평면에서 두 점을 뺀 평면까지의 입체 사상은 상수 함수이다(Little Picard 정리)!

구멍이 뚫린 구

이러한 진술은 구멍이 있는 리만 구 ${\widehat {\mathbf {C} }}$의 유형을 고려하여 명확해진다. 구멍이 없으면 타원 리만 구이다. 무한대에 놓일 수 있는 하나의 구명으로 포물형인 복소 평면이다. 두 개의 구멍이 있는 경우 구멍이 뚫린 평면 또는 포물 모양의 환형 또는 원통이다. 구멍이 3개 이상 있는 경우 쌍곡 곡면이다. 바지와 비교해 보라. 지수 사상(전체이고 무한대에서 본질적 특이점을 가지므로 무한대에서 정의되지 않고 0과 무한대를 놓침)을 통해 하나의 구멍에서 두 개로 사상할 수 있지만 모든 구멍은 0에서 하나 이상으로 사상된다. 하나 또는 두 개의 구멍에서 세 개 이상은 상수 함수이다.

분기된 덮개 공간

이 맥락에서 계속해서 콤팩트 리만 곡면은 상수 사상을 제외하고 더 낮은 종류의 곡면에 사상할 수 있지만 더 높은 종류에는 사상할 수 없다. 이는 정칙사상 및 유리형 사상이 로컬에서 $z\mapsto z^{n},$과 같이 동작하기 때문이다. 따라서 비 상수 사상은 분기된 덮개 사상이며 콤팩트 리만 곡면의 경우 공간의 오일러 특성과 분기된 덮개를 관련시키는 대수 위상의 리만–후르비츠 공식에 의해 제한된다.

예를 들어, 쌍곡선 리만 곡면은 구의 분기된 덮개 공간 이지만(그것들은 상수 함수가 아닌 유리형 함수를 가짐), 구는 상수를 제외하고 더 높은 종수를 가진 곡면을 덮거나 달리 사상하지 않는다.

리만 곡면의 등장사상

균일화된 리만 곡면의 등장사상 군 (동일하게 등각 자기동형사상 군 )은 해당 기하학을 반영한다.

• 종수0 – 구의 등장사상 군은 복소 직선의 사영 변환의 뫼비우스 군이다.
• 평면의 등장사상 군은 무한대를 고정하는 부분군 이고 구멍 난 평면의 부분군은 무한대와 0만 포함하는 집합을 불변으로 남겨 두는 부분군이다. 둘 다 고정하거나 교환한다. (1/ z ).
• 상반면의 등장사상 군은 실수 뫼비우스 군이다. 이것은 원판의 자기동형 군에 결합된다.
• 종수1 – 원환면의 등장사상 군은 일반적인 평행이동에 포함되지만 (아벨 다형체으로), 정사각형 격자와 육각 격자는 90° 및 60° 회전에서 추가 대칭을 갖는다.
• 종수g≥2의 경우, 등장사상 군은 유한하며 최대 84(g-1)차를 같는다. 후르비츠 자기동형사상 정리에 의해; 이 경계를 실현하는 곡면을 후르비츠 곡면이라고 한다.
• 모든 유한 군은 어떤 리만 곡면의 등장사상의 전체 군으로 실현될 수 있다고 알려져 있다.
  • 종 2의 경우 차수는 차수가 48인 Bolza 곡면 에 의해 최대화된다.
  • 종수3의 경우 차수는 차수가 168인 Klein 4차 에 의해 최대화된다. 이것은 첫 번째 후르비츠 곡면이며, 그 자동형 군은 차수가 168인 고유한 단순 군 과 동형이며, 이는 두 번째로 작은 비-아벨 단순 군이다. 이 군은 PSL(2,7) 및 PSL(3,2) 모두와 동형이다.
  • 종수4의 경우 브링 곡면은 고도로 대칭인 곡면이다.
  • 종수7의 경우 차수는 차수가 504인 Macbeath 곡면에 의해 최대화된다. 이것은 두 번째 후르비츠 곡면이고, 그 자동형 군은 PSL(2,8)과 동형이며, 네 번째로 작은 비-아벨 단순 군이다.

함수론적 분류

위의 분류 체계는 일반적으로 기하학자가 사용한다. 복소 해석학자가 일반적으로 사용하는 리만 곡면에 대한 다른 분류가 있다. 그것은 "포물"과 "쌍곡"에 대해 다른 정의를 사용한다. 이 대체 분류 체계에서 리만 곡면은 곡면에 일정하지 않은 음의 부분 조화 함수가 없는 경우 포물선 곡면 이라고 하고 그렇지 않은 경우 쌍곡선 이 부류의 쌍곡선 곡면은 음의 부분 조화 함수 이외의 함수 공간이 퇴화되는지 여부에 따라 하위 부류로 더 세분된다. 모든 유계 정칙 함수가 상수이거나 모든 유계 조화 함수가 상수이거나 모든 양의 조화 함수가 상수인 리만 곡면 등.

혼동을 피하기 위해 일정한 곡률의 계량에 기반한 분류를 기하학적 분류라고 부르고 함수 공간의 축퇴에 기반한 분류를 함수론적 분류라고 부른다. 예를 들어, "0과 1을 제외한 모든 복소수"로 구성된 리만 곡면은 함수 이론 분류에서는 포물선이지만 기하학적 분류에서는 쌍곡선이다.

같이보기

• 데생당팡
• 켈러 다양체
• 로렌츠 곡면
• 사상류 군
• 세르 쌍대성

리만 곡면에 관한 정리

• 분기 정리
• Hurwitz의 자기동형 정리
• 리만 곡면에 대한 항등 정리
• 리만-로흐 정리
• 리만-후르비츠 공식

참조

 

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• Lawton, Sean; Peterson, Elisha (2009), Papadopoulos, Athanase, 편집., 《Handbook of Teichmüller theory. Vol. II》, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, arXiv:math/0511271, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR 2524085, S2CID 16687772 
• Papadopoulos, Athanase, 편집. (2012), 《Handbook of Teichmüller theory. Vol. III》, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 19, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3 
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외부 링크

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• McMullen, C. “Complex Analysis on Riemann Surfaces Math 213b” (PDF). 《Harvard Math》. Harvard University. 

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