복소해석학에서 피카르의 대정리(영어: Picard’s great theorem)와 피카르의 소정리(영어: Picard’s little theorem)는 정칙 함수의 특이점 근처에서의 상에 대한 정리다.
리만 곡면 및 점 가 주어졌다고 하고, 정칙 함수
가 에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. 피카르의 대정리에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점 이 존재한다.
- 임의의 근방 및 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
따름정리[편집]
피카르의 소정리에 따르면, 만약 가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.
이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.
피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. 즉, 이며 라고 하자. 그렇다면 는 무한대에서의 성질에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 분류된다.
- 만약 가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라 는 상수 함수이다.
- 만약 가 무한대에서 극점을 갖는다면, 는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라 이다.
- 만약 가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라 의 꼴이며, 이므로 로 놓을 수 있다.
함수 는 에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 경우, 피카르의 대정리에 의하여 존재하는 두 값들은
이다.
위 예에 뫼비우스 변환을 가해, 가 임의의 값을 갖는 예를 찾을 수 있다.
에밀 피카르의 이름을 땄다.
참고 문헌[편집]
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