사상류군

위상수학에서 사상류군(寫像類群, 영어: mapping class group)은 어떤 위상 공간의 자기 위상 동형들의 호모토피류들로 구성된 군이다.

정의

위상 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위상 동형 사상 $X\to X$들의 집합은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이 위에 콤팩트-열린집합 위상을 부여하면 이는 위상군 $\operatorname {Homeo} (X)$을 이룬다. 항등원을 포함하는 연결 성분은 그 정규 부분군 $\operatorname {Homeo} _{0}(X)$를 이룬다. 이에 따라, 짧은 완전열

$1\to \operatorname {Homeo} _{0}(X)\to \operatorname {Homeo} (X)\to \operatorname {MCG} (X)\to 1$

이 존재한다. 이 몫군

$\operatorname {MCG} (X)={\frac {\operatorname {Homeo} (X)}{\operatorname {Homeo} _{0}(X)}}$

을 $M$의 사상류군이라고 하며, 그 원소를 사상류라고 한다.

방향 보존 사상류군

만약 $X$가 가향 다양체라고 할 때, 방향을 보존하는 위상 동형 사상들의 부분군

$\operatorname {Homeo} ^{+}(X)\subseteq \operatorname {Homeo} (X)$

이 존재한다. 이에 따라, 마찬가지로 사상류군의 부분군

${\frac {\operatorname {Homeo} ^{+}(X)}{\operatorname {Homeo} _{0}(X)}}=\operatorname {MCG} ^{+}(X)\subseteq \operatorname {MCG} (X)$

을 정의할 수 있으며, 이를 방향 보존 사상류군(영어: orientation-preserving mapping class group)이라고 한다.

토렐리 군

특이 호몰로지의 함자성에 따라, 사상류 $[f]\in \operatorname {MCG} (X)$는 호몰로지 군 위에 작용한다.

$[f]\colon \operatorname {H} _{\bullet }(X)\to \operatorname {H} _{\bullet }(X)$

이 작용이 자명한 사상류, 즉 모든 호몰로지류를 보존하는 사상류들로 구성된 부분군을 토렐리 군(영어: Torelli group) $\operatorname {Tor} (X)\subseteq \operatorname {MCG} (X)$이라고 한다.

성질

닐센-서스턴 분류에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면 $\Sigma$의 방향 사상류 $g\in \operatorname {MCG} ^{+}(\Sigma )$에 대하여, 다음 세 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.

• 유한 차수이다. 즉, $g^{n}=1$인 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$가 존재한다.
• $g$의 작용에 의하여 보존되는 서로소 폐곡선들이 존재한다.
• 유사 아노소프 사상(영어: pseudo-Anosov map)이다.

덴-닐센-베르 정리(영어: Dehn–Nielsen–Baer theorem)에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면 $\Sigma$에 대하여, 다음 두 군이 서로 표준적으로 동형이다.

$\operatorname {MCG} (\Sigma )\cong \operatorname {Out} (\pi _{1}(\Sigma ))$

여기서 $\pi _{1}(-)$은 기본군이며, $\operatorname {Out} (-)$은 어떤 군의 외부자기동형군이다.

예

이산 공간

이산 공간 $X$ 위의 자기 위상 동형은 순열 $X\to X$과 같으며, 그 위의 콤팩트-열린집합 위상 역시 이산 공간이다. 즉, $X$의 사상류군은 대칭군과 같다.

$\operatorname {MCG} (X)=\operatorname {MCG} ^{+}(X)=\operatorname {Sym} (X)$

이 경우, (0차) 특이 호몰로지는

$\operatorname {H} _{0}(X)=\mathbb {Z} ^{\oplus |X|}$

이며, 이에 따라 토렐리 군은 자명군이다.

$\operatorname {Tor} (X)=1$

구

구 $\mathbb {S} ^{2}$의 경우,

$\operatorname {MCG} (\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} /2$

$\operatorname {MCG} ^{+}(\mathbb {S} ^{2})=1$

이다. 특히, 토렐리 군은 자명군이다.

역사

닐센-서스턴 정리는 야코브 닐센(덴마크어: Jakob Nielsen)과 윌리엄 서스턴이 증명하였다. 덴-닐센-베르 정리는 막스 덴과 야코브 닐센과 라인홀트 베르(독일어: Reinhold Baer)가 증명하였다.

외부 링크

• “Are the mapping class groups of manifolds finitely presentable?”. 《Math Overflow》 (영어).