최대 원리

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해석학에서, 최대 원리(最大原理, 영어: maximum principle)는 조화함수가 극대점을 갖지 않는다는 정리다. 조화함수 말고도, 특정 타원형·포물형 편미분 방정식의 해에 대해서도 성립한다.

정의[편집]

연결 열린 집합 D\subset\mathbb R^n 위의 조화함수 f\colon D\to\mathbb R가 극대점을 갖는다고 하자. 즉, 다음 성질을 만족시키는 점 x_0\in D근방 N\ni x_0이 존재한다고 하자.

\sup_Nf\le f(x_0)

그렇다면 f상수 함수이다.

호프 최대 원리[편집]

연결 열린 집합 D\subset\mathbb R^n 위의 C^2 함수 f\colon D\to\mathbb R가 다음과 같은 꼴의 미분 부등식을 만족시킨다고 하자.

A^{ij}(x)\nabla_i\nabla_jf(x)+b^i(x)\nabla_if(x)\ge0

여기서 A는 국소적으로 균등 양의 정부호인 대칭 행렬이며, Ab의 성분들은 모두 국소 유계이다. 만약 ux\in D에서 최댓값을 갖는다면, u상수 함수이다. 이를 호프 최대 원리(영어: Hopf maximum principle)라고 한다.

같이 보기[편집]