유클리드 거리

유클리드 거리(Euclidean distance)는 두 점 사이의 거리를 계산할 때 흔히 쓰는 방법이다. 이 거리를 사용하여 유클리드 공간을 정의할 수 있으며, 이 거리에 대응하는 노름을 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 부른다.

정의

직교 좌표계로 나타낸 점 p = (p₁, p₂,..., p_n)와 q = (q₁, q₂,..., q_n)가 있을때, 두 점 p, q 사이의 유클리드거리는 다음과 같이 정의한다.

$\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i-q_i)^2}.$

벡터 p의 유클리드 노름의 값은 점 p와 좌표계의 원점과의 거리를 의미한다. 아래의 등식의 맨 오른쪽 부분의 $\cdot$ 기호는 스칼라곱을 뜻한다.

$\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}$

유클리드 노름을 이용하여 두 점 p, q의 거리를 계산하면 다음과 같다.

$\|\mathbf{p} - \mathbf{q}\| = \sqrt{(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{q})} = \sqrt{\|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 - 2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}.$