반군

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수학에서 반군(semigroup)은 이항연산이 하나 주어진 집합으로, 연산에 대해 닫혀있고 결합법칙이 성립하는 경우를 말한다. 다른 말로 하면, 반군은 결합법칙이 성립하는 마그마이다. 보다 약간 약한 조건을 만족하는 대수적 구조라는 의미에서 붙여진 이름이다.

반군의 원소 x와 y의 연산 결과는 대체로 곱셈 기호를 이용해  x\cdot y 등으로 나타내거나, 기호를 생략하고 단순히 xy로 나타낸다.

정의[편집]

집합 S와 함수 \cdot_S: S \times S \rightarrow S로 이루어진 쌍 (S,\cdot_S)을 생각하자. 여기에서 함수 \cdot_S를 '연산'이라 하고, 쌍 (x,y)에 이 함수를 적용했을 때의 상을 편의상 x \cdot_S yx \cdot y으로 쓴다. 이 연산이 결합법칙을 만족할 경우(즉, 임의의  x,y,z \in S에 대해  (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)일 경우), (S,\cdot_S)를 '반군'이라 한다. 보통 추상대수학에서 혼동의 여지가 없을 때는 쌍 (S,\cdot_S)을 간단히 S로 줄여 쓴다.

[편집]

  • 모든 모노이드는 반군이다. 따라서 모든 은 반군이다.
  • 자연수의 집합은 덧셈에 대해 반군을 이룬다.
  • 반군의 연산에 대해 닫힌 임의의 부분집합은 그 자체로 반군이다. 이를 '부분 반군'(subsemigroup)이라 한다.
  • 아이디얼은 곱셈에 대해 반군이다.