겔판드 표현

함수해석학에서 겔판드 표현(이즈라일 겔판드의 이름을 따서 명명됨)은 다음 두 가지 중 하나다.

• 가환 바나흐 대수를 연속 함수의 대수로 표현하는 방법;
• 가환 C*-대수학의 경우 이 표현은 등장 동형사상이라는 사실이다.

전자의 경우 겔판드 표현을 적분 가능한 함수의 푸리에 변환의 광범위한 일반화로 볼 수 있다. 후자의 경우 겔판드-나이마크 표현 정리는 정규 연산자에 대한 스펙트럼 이론을 만드는 한 가지 방법이며, 정규 행렬을 대각화하는 개념을 일반화한다.

역사적 언급

겔판드의 원래 응용 중 하나(역사적으로 바나흐 대수 연구의 많은 동기를 부여한 응용)는 군 대수 $L^{1}({\mathbf {R} })$와 $\ell ^{1}({\mathbf {Z} })$ 각각의 대수에서 변환이 조밀 부분 공간을 생성하는 원소들을 특성화 함으로써 유명한 노베르트 위너의 보조정리를 더욱 짧고 개념적으로 증명을 하는데 있다.

모델 대수학

임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 위상 공간 $X$에 대해, $X$에서 정의된 무한대에서 영인 연속 복소 함수들의 공간 $C_{0}(X)$는 가환 $C^{*}$-대수이다:

• 복소수들에 대한 대수 구조는 덧셈과 곱셈의 점별 연산을 고려하여 얻는다.
• 인볼루션은 점별 복소 켤레이다.
• 노름은 함수에 대한 고른 노름이다.

$X$가 국소 콤팩트 하우스도르프인 것의 중요성은 이것이 $X$를 완비 정규 공간으로 바꾼다는 것이다. 그러한 공간에서 $X$의 모든 닫힌 부분 집합은 $X$에서 정의된 연속 복소 함수 족의 공통 영 집합이므로 $C_{0}(X)$에서 $X$의 위상를 복원할 수 있다.

$C_{0}(X)$는 $X$가 콤팩트인 경우에만 단위 대수이며, 이 경우 $C_{0}(X)$는 $X$에서 정의된 모든 연속 복소 함수들의 대수인 $C(X)$와 같다.

가환 바나흐 대수학의 겔판드 표현

$A$가 복소수 체 $\mathbb {C}$에 대해 정의된 가환 바나흐 대수라 하자. $0$이 아닌 대수 준동형사상 (곱셈적 선형 범함수) $\Phi \colon A\to \mathbb {C}$는 $A$의 특성이라고 한다; $A$의 모든 특성들의 집합은 $\Phi _{A}$로 표시된다.

$A$위의 모든 특성이 표시될 수 있다. 자동으로 연속이므로 $\Phi _{A}$는 $A$에서 정의된 연속 선형 범함수 공간 $A^{*}$의 부분 집합이다; 게다가 약한-* 상대 위상을 부여했을 때, $\Phi _{A}$는 국소 콤팩트 및 하우스도르프로 밝혀졌다. (이것은 바나흐–엘러오글루 정리에 따라 그렇다.) 공간 $\Phi _{A}$가 콤팩트함은(방금 정의된 위상에서) 대수 $A$가 항등원을 가짐과 동치이다.

주어진 $a\in A$에 대해, 함수 ${\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)$를 ${\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }$로 정의한다. $\Phi _{A}$의 정의와 이 위의 위상은 ${\widehat {a}}$가 연속이며 무한대에서 $0$임을 보장한다. 사상 $a\mapsto {\widehat {a}}$는 $A$에서 $C_{0}(\Phi _{A})$로 가는 노름 감소 단위 보존 대수 동형 사상을 정의한다. 이 준동형사상은 $A$의 겔판드 표현이다. 그리고 ${\widehat {a}}$는 원소 $a$의 겔판드 변환이다. 일반적으로 표현은 단사도 전사도 아니다.

$A$에 항등원이 있는 경우에 $\Phi _{A}$와 $A$ 안의 극대 이데알들의 집합 사이에 전단사가 있고(이것은 겔판드-마주르 정리에 의존한다). 결과적으로 겔판드 표현 $A\to C_{0}(\Phi _{A})$의 핵은 $A$의 제이콥슨 라디칼과 동일시될 수 있다. 따라서 겔판드 표현은 $A$가 (제이콥슨) 반단순인 경우에만 단사이다.

예

$A=L^{1}(\mathbb {R} )$인 경우에, $\mathbb {R}$의 군 대수, 그러면 $\Phi _{A}$는 $\mathbb {R}$과 위상동형이고 $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$의 겔판드 변환은 푸리에 변환 ${\tilde {f}}$이다.

$A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})$, $L^{1}$-실 반직선의 컨볼루션 대수인 경우에, $\Phi _{A}$는 $\{z\in \mathbb {C} ~\colon ~\operatorname {Re} (z)\geq 0\}$와 위상동형이고 $f\in L^{1}(\mathbb {R} _{+})$의 원소의 겔판드 변환은 라플라스 변환 ${\mathcal {L}}f$이다.

C*-대수의 경우

동기 부여로, 특별한 경우 $A=C_{0}(X)$를 고려하자. 주어진 $x\in X$에 대해, $\varphi _{x}\in A^{*}$를 $x$에서 점별 계산이라 하자. 즉, $\varphi _{x}(f)=f(x)$. 그러면, $\varphi _{x}$는 $A$의 특성이며 $A$의 모든 특성이 이 형식임을 보일 수 있다. 더 정확한 분석은 $\Phi _{A}$를 $X$와 함께 집합 뿐만 아니라 위상 공간으로 식별할 수 있음을 보여준다. 겔판드 표현은 다음 동형사상이다:

$C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\$

가환 C*-대수학의 스펙트럼

${\hat {A}}$로 표시되는 가환 $C^{*}$-대수 $A$의 스펙트럼 또는 겔판드 공간은 $A$에서 복소수 공간으로 가는 $0$이 아닌 *- 동형사상들의 집합으로 구성된다. 스펙트럼의 원소를 $A$의 특성이라고 한다.($A$에서 복소수 공간으로 가는 모든 대수 준동형사상은 자동으로 *-동형이므로 '특성'이라는 용어의 정의는 위의 것과 일치한다. )

특히, 가환적 $C^{*}$-대수학의 스펙트럼은 국지적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이다: 유니탈 경우, 즉 $C^{*}$-대수가 곱셈 단위 원소 $1$을 갖는 경우, 모든 문자 $f$는 유니탈이어야 한다. 즉, $f(1)$은 복소수 $1$이다. 이것은 제로 동형을 제외한다. 그래서 ${\hat {A}}$는 약한-* 수렴에서 닫히고 스펙트럼은 실제로 콤팩트다. 단위가 아닌 경우에, ${\hat {A}}$의 약한 -*닫음은 ${\hat {A}}\cup \{0\}$이며, 여기서 $0$은 제로 준동형이고 콤팩트 하우스도르프 공간에서 한 점을 제거하면 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 생성된다.

스펙트럼은 과중한 단어임을 주의하라. 또한 이는 단위가 $1$인 대수의 원소 $x$의 스펙트럼 $\sigma (x)$, 즉 $x$에 대해 $x-r_{1}$이 $A$에서 가역이 아닌 복소수 $r$의 집합도 나타낸다. 단위 $C^{*}$-대수학의 경우 두 개념은 다음과 같은 방식으로 연결된다. 스펙트럼 반지름 공식과 함께 이것은 ${\hat {A}}$가 $A^{*}$의 단위 공의 부분 집합이며, 약한-* 상대 위상이 주어질 수 있음을 보여준다. 이것이 점별 수렴의 위상이다. $A$ 스펙트럼의 원소의 그물 $\{f_{k}\}_{k}$는 $A$의 각 $x$에 대해 복소수 그물 $\{f_{k}(x)\}_{k}$가 $f(x)$로 수렴하는 경우에만 $f$로 수렴한다.

$A$가 분리 가능한 $C^{*}$-대수인 경우 약한-* 위상은 제한된 부분 집합에서 가측이다. 따라서 분리 가능한 가환 $C^{*}$-대수 $A$의 스펙트럼은 거리 공간으로 볼 수 있다. 따라서 위상은 수열의 수렴을 통해 특성화할 수 있다.

동등하게, $\sigma (x)$는 $\gamma (x)$의 치역이며, 여기서 $\gamma$는 겔판드 표현이다.

가환 겔판드-나이마크 정리

$A$를 가환 $C^{*}$-대수라고 하고 $X$를 $A$의 스펙트럼이라고 한다.

$\gamma :A\to C_{0}(X)$

가 위에서 정의된 겔판드 표현이라 하자.

정리. 겔판드 사상 $\gamma$는 $A$에서 $C_{0}(X)$로의 등장 *-동형사상이다.

아래의 아르베슨을 참조.

가환 $C^{*}$-대수학의 스펙트럼은 또한 헐-커널 위상를 사용하여 $A$의 모든 극대 이데알 $m$의 집합으로 볼 수 있다. (일반적인 가환 바나흐 대수 예시에 대해서는 이전 설명 참조) 이러한 $m$에 대해 몫 대수 $A/m$은 $1$차원(겔판드-마주르 정리에 의해)이므로 $A$의 모든 $a$는 $Y$에 대한 복소 함수를 발생시킨다.

단위원이 있는 $C^{*}$-대수의 경우, 스펙트럼 사상은 단위 및 단위 보존 연속 *-동형사상을 갖는 가환 $C^{*}$-대수 범주에서 콤팩트 하우스도르프 공간 및 연속 사상 범주로 반변 함자를 발생시킨다. 이 함자는 이 두 범주 사이의 반변 동치의 절반이다(각 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 $C^{*}$-대수 $C_{0}(X)$를 할당하는 함자가 인접함). 특히, 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$와 $Y$가 주어지면 $X$가 $Y$와 동형인 경우에만 $C(X)$는 $C(Y)$와 동형이다($C^{*}$-대수).

'완전한' 겔판드–나이마크 정리는 겔판드 표현과 상당히 유사하지는 않지만 연산자의 대수학으로서 $A$의 구체적인 표현을 제공하는 임의의(추상적) 비가환 $C^{*}$ 대수 $A$에 대한 결과이다.

응용

가장 중요한 응용 중 하나는 $C^{*}$-대수 $A$의 정규 원소에 대한 연속 함수 미적분의 존재이다. 원소 $x$는 $x$가 인접 원소 $x^{*}$와 교환하는 경우에만 정규이다. 가환 $C^{*}$-대수 $C^{*}(x)$에 적용된 겔판드 동형사상에 의해 이것은 국소 콤팩트 공간에서 연속 함수의 대수에 대해 *-동형이다. 이 관찰은 거의 즉시 다음으로 이어진다.

정리. $A$를 항등원을 갖는 $C^{*}$-대수라고 하고 $x$를 $A$의 정규 원소로 두자. 그러면, 스펙트럼 $\sigma (x)$에서 $A$로의 연속 함수의 대수로부터 다음과 같은 *-사상 $f\rightarrow f(x)$가 존재한다.

• $1$을 $A$의 곱셈 항등식에 사상한다.
• 스펙트럼의 항등 함수를 $x$에 사상한다.

이를 통해 힐베르트 공간의 유계 정규 연산자에 연속 함수를 적용할 수 있다.

참조

• Arveson, W. (1981). 《An Invitation to C*-Algebras》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0. 
• Bonsall, F. F.; Duncan, J. (1973). 《Complete Normed Algebras》. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2. 
• Conway, J. B. (1990). 《A Course in Functional Analysis》. Graduate Texts in Mathematics 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5. 
• Wiener, N. (1932). “Tauberian theorems”. 《Ann. of Math.》. II (Annals of Mathematics) 33 (1): 1–100. doi:10.2307/1968102. JSTOR 1968102.