위너 공간

확률론에서 위너 공간(Wiener空間, 영어: Wiener space) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, 영어: abstract Wiener space)은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다.^:§1.1 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.

정의

위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

• 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
• 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

푸리에 변환을 통한 정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 분해 가능 실수 바나흐 공간 $E$
• $E$의 보렐 시그마 대수 위의 확률 측도 $\mu$
• 분해 가능 실수 힐베르트 공간 $(H,\langle |\rangle )$
• 단사 연속 실수 선형 변환 $\iota \colon H\hookrightarrow E$. (이는 등거리 변환일 필요가 없다.) 또한, 그 상이 조밀 집합이라고 하자.

그렇다면, $H\subseteq E$이므로

$E^{*}\subseteq H^{*}=H$

이며, $E^{*}$는 $H$의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 $(-)^{*}$는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

만약

$\int _{E}\exp(\mathrm {i} \langle \lambda |x\rangle )\,\mathrm {d} \mu (x)=\exp \left(-{\frac {\langle \lambda |\lambda \rangle _{H}}{2}}\right)\qquad \forall \lambda \in E^{*}\subseteq H$

라면, $(E,\mu ,H)$가 위너 공간이라고 한다.

구체적 정의

위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 실수 힐베르트 공간 $H$ 위의 기둥 집합의 족 $\operatorname {Cyl} (H)$ 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.

$\nu \colon \operatorname {Cyl} (H)\to [0,1]$

$\nu \colon P^{-1}(S)\mapsto (2\pi )^{n/2}\int _{S}\exp(-x^{2}/2)\,\mathrm {d} ^{n}x\qquad (P\colon H\to \mathbb {R} ^{n},\;S\in \operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n}))$

특히,

$\nu (H)=1$

$\nu (\varnothing )=0$

이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 $\sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)$ 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 $H$ 위의 기둥 집합 측도(영어: cylinder-set measure)라고 한다.

$H$ 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 $\|-\|$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열

$V_{1}\leq V_{2}\leq \dotsb \leq H$

이 존재한다면, 이를 가측 노름(영어: measurable norm)이라고 한다.

임의의 유한 차원 부분 공간 $W\subseteq H$에 대하여, 만약 $W\perp V_{n}$이라면, $\nu (\{x\in H\colon \|\operatorname {proj} _{W}x\|>2^{-n}\})<2^{-n}$이다.

$H$의, 어떤 가측 노름 $\|-\|$에 대한 완비화인 바나흐 공간

$H\subseteq E$

가 주어졌다고 하자. $B^{*}\subseteq H^{*}\cong H$이므로,

$\{H\cap C\colon C\in \operatorname {Cyl} (E)\}\subseteq \operatorname {Cyl} (H)$

이다.

그렇다면, $E$의 기둥 집합의 족 $\operatorname {Cyl} (E)$ 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.

$\nu \colon \operatorname {Cyl} (E)\to [0,1]$

$\nu \colon \phi ^{-1}(S)\mapsto \nu (H\cap \phi ^{-1}(S))\qquad \forall \phi \colon B\to \mathbb {R} ^{n}$

이는 $\operatorname {Cyl} (E)$로 생성되는 시그마 대수

$\sigma (\operatorname {Cyl} (E))=\operatorname {Borel} (E)$

위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간 $(E,\operatorname {Borel} (E))$ 위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, $(E,H,\mu )$를 위너 공간이라고 한다.

성질

위너 공간 $(E,\mu ,H)$가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 $\phi \in E^{*}$에 대하여, $\mathbb {R}$ 위의 측도 $\phi _{*}\mu$의 분포 함수는 평균이 0인 $\mathbb {R}$ 위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

$\mu (\phi ^{-1}(S))=\int _{S}C\exp(-x^{2}/2\sigma ^{2}),\mathrm {d} x\,\qquad (C\geq 0,\;\sigma ^{2}>0)$

또한, 만약 $\phi \neq 0$라면, $C>0$이다.

존재

임의의 분해 가능 바나흐 공간 $E$에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 $(\mu ,H)$가 적어도 하나 이상 존재한다.^{:Theorem 4.47}

페일리-위너 적분

위너 공간 $(E,\mu ,H)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$E^{*}\subseteq H\subseteq E$

가 성립한다. 또한,

$E^{*}\subseteq \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )$

임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.

$\|\phi \|_{\operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )}={\sqrt {\langle \phi |\phi \rangle _{H}}}$

다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환

$E^{*}\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )$

이 존재한다. $E^{*}$는 $H$의 조밀 집합이므로, 이를 $H$ 전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환

$I\colon H\to \operatorname {L} ^{2}(E,\mu ;\mathbb {R} )$

이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상(영어: Paley–Wiener map)이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 $h\in H$ 및 $x\in E$에 대하여

$I_{h}(x)\in \mathbb {R}$

를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분(영어: Paley–Wiener integral)이라고 한다.

캐머런-마틴 정리

위너 공간 $(E,\mu ,H)$ 및 $h\in H$에 대하여, 다음을 정의하자.

$(+h)\colon E\to E$

$(+h)\colon x\mapsto x+h$

그렇다면, $E$ 위의 보렐 확률 측도

$\mu _{h}=(+h)_{*}\mu \colon \operatorname {Borel} (E)\to [0,1]$

를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수

${\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}$

는 다음과 같다.

${\frac {\mathrm {d} \mu _{h}}{\mathrm {d} \mu }}=\exp \left(I_{h}(x))-{\frac {1}{2}}\langle h|h\rangle \right)$

여기서 $I_{h}(x)$는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리(영어: Cameron–Martin theorem)라고 한다.

연산

두 위너 공간 $(E,\mu ,H)$, $(E',\mu ',H')$가 주어졌을 때, $(E\oplus E',H\oplus H')$ 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.

$\mu (S\times S')=\mu _{E}(S)\mu _{E'}(S')\qquad \forall S\in \operatorname {Borel} (E),\;S'\in \operatorname {Borel} (E')$

예

만약 $H$가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, $H=E$라고 하자. 이 경우, $H$ 위의 위너 공간 구조의 개념은 $H$ 위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.

고전 위너 공간

다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.

${\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=0\}$

$\|f\|_{{\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})}=\max _{[0,T]}\|f\|_{\mathbb {R} ^{n}}$

그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.

$\operatorname {W} _{0}^{1,2}\left([0,T],\mathbb {R} ^{n}\right)=\operatorname {W} ^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\cap {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\;\mathrm {d} f/\mathrm {d} t\in \operatorname {L} ^{2}([0,T],\mathbb {R} ^{n})\}$

여기서 $\operatorname {W} ^{1,2}(-)$는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 $\operatorname {W} _{0}^{1,2}([0,T],\mathbb {R} ^{2})$의 원소이다. (도함수의 L² 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서 $\operatorname {L} _{0}^{2,1}$의 원소는 유한 에너지 경로(영어: finite-energy path)라고 한다.) 이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.

$\langle f,g\rangle _{\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right)}=\int _{0}^{T}\langle {\dot {f}}(t),{\dot {g}}(t)\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}\,\mathrm {d} t$

이제, 임의의 확률 공간 $\Omega$ 및 위너 과정

$(W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,T]}$

을 생각하자. $W$의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 ${\mathcal {C}}_{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})$ 위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 $S\subseteq {\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n})$에 대하여,

$\mu (S)=\Pr(W\in S)$

로 놓는다.

그렇다면, $({\mathcal {C}}_{0}^{0}([0,T],\mathbb {R} ^{n}),\mu ,\operatorname {L} _{0}^{2,1}\left([0,1],\mathbb {R} ^{n}\right))$는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, 영어: classical Wiener space)이라고 한다.

브라운 다리

원을

$\mathbb {S} ^{1}=[0,1]/(0\sim 1)$

로 정의하자.

L^∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간

$E={\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\{f\in {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\colon f(0)=f(1)=0\}$

을 생각하자. 이 위에, 부분 공간

$H=\operatorname {W} _{0}^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {W} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})\cap E$

을 생각하자. 이는 내적

$\langle f,g\rangle =\oint {\dot {f}}{\dot {g}}$

에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.

$E$ 위에, 확률 과정

$X_{t}=W_{t}-tW_{1}$

의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 $W_{t}$는 위너 과정이다. 그렇다면, $(E,H)$는 위너 공간을 이룬다.^:§4.4

힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조

분해 가능 힐베르트 공간 $H$ 및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 $A\colon H\to H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름

$\|x\|_{A}=\langle Ax|Ax\rangle _{H}$

을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 $(E,\mu ,H)$에서 $E$ 역시 힐베르트 공간을 이룬다.^{:Corollary 4.62} 반대로, 임의의 위너 공간 $(E,\mu ,H)$에서 $E$가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.^{:Corollary 4.62}

역사

고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스(영어: Leonard Gross)가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.

페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(영어: Raymond Edward Alan Christopher Paley, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다.

캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(영어: Robert Horton Cameron, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(영어: William Ted Martin, 1911〜2004)이 증명하였다.

외부 링크

• Sengupta, Ambar N. (2012년 3월 17일). “Abstract Wiener spaces in a few slides” (PDF) (영어). 
• Oh, Tadahiro. “Ornstein–Uhlenbeck process on abstract Wiener spaces, hpercontractibility, and logarithmic Sobolev inequality” (PDF) (영어).