기둥 집합

함수해석학과 측도론에서, 기둥 집합은 유한 개의 연속 범함수만으로 정의될 수 있는, 위상 벡터 공간의 부분 집합이다.

정의

위상 벡터 공간 $V$의 기둥 집합 $C\subseteq V$은 다음과 같은 꼴로 표현되는 부분 집합 $C\subseteq V$이다.

$C=\phi ^{-1}(S)$

여기서

• $\phi \colon V\to \mathbb {R} ^{n}$은 어떤 전사 연속 선형 변환이다.
• $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$는 보렐 집합이다.

즉, 어떤 $\phi _{1},\dotsc ,\phi _{n}\in V^{*}$에 대하여

$C=\{x\in V\colon (\phi _{1}(x),\dotsc ,\phi _{n}(x))\in S\}$

가 된다. (여기서 $(-)^{*}$는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

$V$의 기둥 집합들의 족을 $\operatorname {Cyl} (V)$라고 표기하자.

성질

기둥 집합은 이는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있다. 특히, 공집합(0개의 집합들의 합집합)과 $V$ 전체(0개의 집합들의 교집합)는 $V$의 기둥 집합이다.

정의에 따라, 모든 기둥 집합은 보렐 집합이다.

기둥 집합은 일반적으로 가산 무한 합집합 또는 교집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 따라서 시그마 대수를 이루지 못한다. 그러나 $\operatorname {Cyl} (V)$로 생성되는 시그마 대수 $\sigma (\operatorname {Cyl} (V))$를 생각할 수 있다. 만약 $V$가 분해 가능 바나흐 공간이라면, 기둥 집합의 족으로 생성되는 시그마 대수는 $V$의 보렐 시그마 대수와 일치한다.^{:Lemma 4.4} 그러나 이는 분해 불가능 바나흐 공간에 대하여 성립하지 않는다.^{:Exercise 4.5}

예

임의의 집합 $S$에 대하여, 이를 정규 직교 기저로 갖는 힐베르트 공간

$H=\ell ^{2}(S)$

을 생각하자. 이 공간이 분해 가능 공간일 필요 충분 조건은 $S$가 가산 집합인 것이다.

이제, 어떤 기수 $\kappa$에 대하여, 다음과 같은 집합족을 생각하자.

${\mathcal {S}}(\kappa )\subseteq \operatorname {Pow} (H)$

${\mathcal {S}}(\kappa )=\{\pi _{A}^{-1}(T)\colon A\subseteq S,\;|A|<\kappa ,\;T\in \operatorname {Borel} (\ell ^{2}(A))\}$

여기서

• $\pi _{A}\colon \ell ^{2}(S)\to \ell ^{2}(A)$는 자연스러운 사영 사상이다.
• $\operatorname {Borel} (-)$은 보렐 시그마 대수이다.

그렇다면,

• 정의에 따라 ${\mathcal {S}}(\aleph _{0})=\operatorname {Cyl} (H)$이다.
• ${\mathcal {S}}(\aleph _{1})=\sigma (\operatorname {Cyl} (H))$이다.^{:Exercise 4.5}
• 자명하게 ${\mathcal {S}}(|S|^{+})=\operatorname {Borel} (H)$이다. 여기서 $|S|^{+}$는 $S$ 바로 다음의 기수이다.

특히, 유한 차원 힐베르트 공간(=유클리드 공간, $|S|<\aleph _{0}$)의 경우

$\operatorname {Cyl} (\mathbb {R} ^{n})=\sigma (\operatorname {Cyl} (\mathbb {R} ^{n}))=\operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n})$

이며, 분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간($|S|=\aleph _{0}$)의 경우

$\operatorname {Cyl} (H)\subsetneq \sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)$

이지만, 분해 불가능 힐베르트 공간의 경우

$\operatorname {Cyl} (H)\subsetneq \sigma (\operatorname {Cyl} (H))\subsetneq \operatorname {Borel} (H)$

이다.