유니터리 작용소

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함수해석학에서, 유니터리 작용소(unitary作用素, 영어: unitary operator)는 힐베르트 공간자기동형사상이다. 즉, 내적을 보존시키는 전단사 선형변환이다.

정의[편집]

힐베르트 공간 (\mathcal H,\langle\cdot|\cdot\rangle) 위의 유계 작용소 U\colon\mathcal H\to\mathcal H에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유계 작용소유니터리 작용소라고 한다.

만약 마지막 조건에서 상에 대한 조건을 생략할 경우, U등거리사상이라고 한다. 이는 유니터리 작용소보다 더 약한 개념이다. 등거리사상은 U^\dagger U=I를 만족시키지만, UU^\dagger=I는 만족시키지 않을 수 있다.

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항등함수 v\mapsto v는 항상 유니터리 작용소이다.

유한 차원 실수 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 직교행렬이다. 유한 차원 복소 힐베르트 공간의 경우, 유니터리 작용소는 유니터리 행렬이다.

힐베르트 공간 \mathcal H의 기저 \mathcal B\subset\mathcal H 위의 대칭군 \operatorname{Sym}(\mathcal B)의 원소 \sigma\in\operatorname{Sym}(\mathcal B)로부터 유도되는 선형변환

\sum_{b\in\mathcal B}v_bb\mapsto\sum_{b\in\mathcal B}v_b\sigma(b)

은 유니터리 작용소이다. 대신, \sigma\colon\mathcal B\to\mathcal B단사함수이지만 전사함수가 아니라면, 이는 등거리변환이지만 유니터리 작용소가 아니다.

유클리드 공간 위의 복소 L2 공간 L^2(\mathbb R^n;\mathbb C) 위의 푸리에 변환 연산자

\mathcal F\colon L^2(\mathbb R^n;\mathbb C)\to L^2(\mathbb R^n;\mathbb C)

는 유니터리 작용소이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Sobolev, V.I. (2001). Unitary operator. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.