한-바나흐 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

한-바나흐 정리(Hahn-Banach theorem, -定理)는 함수해석학의 정리다.

역사[편집]

1920년대 말에 이 정리를 독립적으로 증명한 오스트리아 수학자 한스 한(Hans Hahn)과 폴란드 수학자 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 이름이 붙어 있다. 역사적으로, 1912년에 오스트리아의 에두아르트 헬리(Eduard Helly)가 정리의 특수한 경우를 증명하였고,[1] 헝가리 수학자 리스 머르첼1923년 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 리스 확장정리를 증명하였다.[2]

부분선형범함수[편집]

V가 실수체 R 위에서 주어진 임의의 벡터공간이라 하자. V에서 R로 가는 함수 f가 다음의 성질을 만족하면 이를 부분선형범함수(sublinear functional)라 한다.

  1. 임의의 \gamma\in \mathbb{R}_+x ∈ V 에 대하여, f(\gamma x ) =  \gamma f\left( x\right)
  2. 임의의 xy ∈ V 에 대하여 f(x + y) \le f(x) + f(y)

공식화[편집]

한-바나흐 정리는 여러 형태가 있는데, 여기서는 함수해석학에서 사용되는 가장 일반적인 형태를 소개한다. V가 실수체 R 위에서 주어진 임의의 벡터공간이라 하자. N:V→R이 부분선형범함수이고, V의 선형부분공간(linear subspace) U에 대해 J:U→R이 다음의 조건을 만족하는 선형범함수라면,

J(x) \leq N(x)\qquad\forall x \in U

J의 V 전체에 대한 선형확장(linear extension) K가 존재한다. 즉, 적당한 선형범함수 K:V→R이 존재하여 다음을 만족한다.

J(x)=K(x)\qquad\forall x\in U

이고,

K(x) \le N(x)\qquad\forall x\in V.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. (영어) O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2000년 5월). Eduard Helly. 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교.
  2. Gȧrding, L. (1970). "Marcel Riesz in memoriam". Acta Math. 124 (1): I–XI. MR0256837.

참고 문헌[편집]

  • Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5