한-바나흐 정리

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함수해석학에서, 한-바나흐 정리(Hahn-Banach定理, 영어: Hahn–Banach theorem)는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다.

정의[편집]

실수 벡터공간 V 위의 열선형 함수(劣線型函數, 영어: sublinear function)는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 f\colon V\to\mathbb R이다.

  • (동차성) 임의의 \gamma\in \mathbb R^+v\in V에 대하여, f(\gamma x ) =  \gamma f(x)
  • (준가법성) 임의의 u,v\in V에 대하여, f(u + v) \le f(u) + f(v)

예를 들어, V의 모든 반노름이나 노름은 열선형 함수이다.

실수 벡터공간 V의 부분벡터공간 U\subset V 위에 정의된 선형함수 \phi\colon U\to\mathbb R가 열선형 함수 f\colon V\to\mathbb R에 대하여 지배당한다고 하자. 즉,

\phi(u)\le f(u)\qquad\forall u\in U

라고 하자. 그렇다면, 한-바나흐 정리에 따라, \phi를 같은 열선형 함수에 지배당하는, V 전체에 정의된 선형함수 \tilde\phi로 확장시킬 수 있다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 선형함수 \tilde\phi\colon V\to\mathbb R가 존재한다.

  • \phi(u)=\tilde\phi(u)\qquad\forall u\in U
  • \tilde\phi(v)\le f(v)\qquad\forall v\in V

다만, 이러한 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

역사[편집]

1920년대 말에 이 정리를 독립적으로 증명한 오스트리아수학자 한스 한(Hans Hahn)과 폴란드의 수학자 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 이름이 붙어 있다. 역사적으로, 1912년에 오스트리아의 에두아르트 헬리(Eduard Helly)가 정리의 특수한 경우를 증명하였고,[1] 헝가리 수학자 리스 머르첼1923년 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 리스 확장정리를 증명하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (2000년 5월). Eduard Helly. 《MacTutor History of Mathematics Archive》. 세인트앤드루스 대학교.
  2. (영어) Gȧrding, L. (1970년). Marcel Riesz in memoriam. 《Acta Mathematica》 124 (1): 1–11. MR0256837.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]