보흐너 적분

함수해석학에서 보흐너 적분(Bochner積分, 영어: Bochner integral)은 바나흐 공간 값의 함수에 대하여 정의되는, 르베그 적분의 일반화이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
• $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $(V,\|\|_{V})$
• 측도 공간 $(X,{\mathcal {S}},\mu )$

그렇다면, $X\to V$ 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 $f\colon X\to V$이다.

$f=\sum _{i=1}^{k}v_{i}\chi _{S_{i}}$

$v_{1},\dotsc ,v_{k}\in V$

$S_{1},\dotsc ,S_{k}\in {\mathcal {S}}$

$k\in \mathbb {N}$

(여기서 $\chi$는 지시 함수이다.)

단순 함수의 보흐너 적분은 다음과 같다.

$\int _{X}\left(\sum _{i=1}^{k}v_{i}\chi _{S_{i}}\right)\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{k}v_{i}\mu (S_{i})\in V$

임의의 함수 $f\colon X\to V$에 대하여, 만약 (다음 좌변이 존재하며) 다음 등식이 성립하는 단순 함수열 $(f_{i})_{i\in \mathbb {N} }$이 존재한다면, $f$를 보흐너 적분 가능 함수라고 한다.

$\lim _{i\to \infty }\int _{X}\|f-f_{i}\|_{V}\,\mathrm {d} \mu =0$

여기서 좌변의 적분은 실수 값의 르베그 적분이다.

이 경우, 보흐너 적분 가능 함수 $f$의 보흐너 적분은 다음과 같다.

$\int _{X}f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{i\to \infty }\int _{X}f_{i}\,\mathrm {d} \mu$

여기서 우변의 극한은 노름 거리 위상에 대한 것이다.

보흐너 공간

$X\to V$ 보흐너 적분 가능 함수들의 $\mathbb {K}$-벡터 공간을 ${\mathcal {L}}^{1}(X;V)$라고 하자. 그 위에 반노름

$\|f\|=\int _{X}\|f\|_{V}\,\mathrm {d} \mu$

을 줄 수 있다. 이 반노름이 0인 원소들의 부분 벡터 공간에 대한 몫

$\operatorname {L} ^{1}(X;V)={\frac {{\mathcal {L}}^{1}(X;V)}{\{f\in {\mathcal {L}}^{1}(X;V)\colon \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq 0\})=0\}}}$

을 1-보흐너 공간(영어: Bochner space)이라고 한다.

예

만약 $V=\mathbb {K}$일 경우, $V$값의 보흐너 적분은 르베그 적분과 같다.

역사

잘로몬 보흐너가 도입하였다.

외부 링크

• “Bochner integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.